Порталус \\ Научная библиотека

РАЗНОЕ есть новые публикации за сегодня \\ 27.03.17

Потенциал решета Эратосфена

Дата публикации: 16 января 2017
Публикатор: Зубаиров Юнус Фариттович
Рубрика: РАЗНОЕ
Источник: (c) http://portalus.ru
Номер публикации: №1484570546 / Жалобы? Ошибка? Выделите проблемный текст и нажмите CTRL+ENTER!


 

                       

                      

                         

 

       ПОТЕНЦИАЛ РЕШЕТА ЭРАТОСФЕНА                                        

Еще в античное время люди стали интересоваться простыми числами, которые, как известно, делятся только на 1 и на само это число, в отличие от составных чисел, которые имеют и другие делители. Математики разрабатывают различные методы для поиска простых чисел. Наиболее интересный из них так называемое «Решето». Его создание приписывают Эратосфену, современнику Архимеда.

Решето Эратосфена позволяет находить простые числа до любого наперед заданного числа натурального ряда. Например, если мы хотим найти все простые числа, меньшие 1000, то необходимо записать все числа до 1000, а потом вычеркнуть все кратные 2, потом из оставшихся чисел – все кратные 3, затем кратные 5 и т. Д.. Очевидно, если продолжить эти операции, то не вычеркнутыми в нашем списке останутся простые числа.

По мнению автора этой статьи, наряду с возможностью нахождения простых чисел до любого наперед заданного числа в натуральном ряду, потенциал решета Эратосфена позволяет раскрыть ряд других общих свойств простых чисел. В частности, решето позволяет доказать, наряду с уже известными доказательствами, бесконечность простых чисел в натуральном ряду. Новое доказательство бесконечности простых чисел в натуральном ряду позволяет найти процентное соотношение всех простых и всех составных чисел в натуральном ряду.  Это, несомненно, является преимуществом нового доказательства бесконечности простых чисел в натуральном ряду перед существующими доказательствами.

         Изложим это новое доказательство бесконечности простых чисел в натуральном ряду. Для этого нам необходимо развить идею Эратосфена, распространить этот метод на все числа натурального ряда. Тем самым, на основе метода Эратосфена мы будем рассматривать весь натуральный ряд в целом, а не только натуральный ряд до определенного наперед заданного числа.

        Дадим каждому числу натурального ряда свой порядковый номер. В этом случае мы будем иметь два ряда чисел:

              Натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19… п

     Порядковый номер: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19… п

Очевидно, если мы будем умножать каждый порядковый номер чисел натурального ряда на все числа натурального ряда, исключая порядковый номер 1, то в итоге получим все составные числа в натуральном ряду.  А числа, которые невозможно было представить как произведение порядковых номер чисел, исключая единицу, на числа натурального ряда будут простыми. Тем самым таким способом мы выявим как все составные, так и все простые числа в натуральном ряду.

Поскольку, по общему соглашению, число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам, то умножим все числа натурального ряда на порядковый номер 2. Умножение всех чисел натурального ряда на порядковый номер 2 охватит половину чисел натурального ряда, а отсюда половина чисел натурального ряда становятся составными и четными, а половина чисел натурального ряда нечетными и пока простыми, но, в то же время, число 2 хотя и является четным, но поскольку это первое четное число, то оно простое. Таким образом, на данном этапе умножения порядковых номеров чисел натурального ряда на числа натурального ряда простых чисел в натуральном ряду даже больше чем составных чисел.

         Продолжим умножение чисел натурального ряда на другие порядковые номера чисел натурального ряда. Умножение следующего простого порядкового номера 3 на числа натурального ряда тоже делает составными определенное количество чисел натурального ряда.

         И первым составным числом, которого делает самостоятельно составным умножение данного порядкового номера на числа натурального ряда, является квадрат этого простого порядкового номера, то есть число 9. А отсюда исходит, что до числа 8 натуральный ряд делал составными умножение натурального ряда только на простой порядковый номер 2. Мы пришли к выводу, что этот простой порядковый номер делает составными половину чисел натурального ряда, то отсюда исходит, что до числа 8 количество простых и составных чисел в натуральном ряду должно быть одинаковым. 

А согласуется ли наше вычисление с действительным положением вещей? Вот простые числа в натуральном ряду до числа восемь:

2, 3, 5, 7.

Вот составные числа в натуральном ряду до числа восемь:

4, 6, 8.

Как видим, хотя простых чисел до числа 8 насчитывается 4, что соответствует нашим расчетам, но составных чисел только 3. Дело в том, что первое число в натуральном ряду, а именно число 1, является числом ни простым, ни составным. 

            Итак, далее мы должны умножать числа натурального ряда на порядковый номер 3. Обратим внимание, что в данном случае два простых числа в натуральном ряду идут подряд, поскольку первое составное число, которое делает составным порядковый номер 2 число 4.

           В дальнейшем такая возможность исключается, так как простое число 2 сделало составными все числа через одну, которые называются четными числами. Но при этом сохраняется возможность, что два простых числа будут идти через 1, то есть в натуральном ряду могут быть простые числа-близнецы.

          Заметим, если бы мы ограничились умножением натурального ряда на порядковый номер 2, то составными были бы все четные числа, исключая 2, простыми все нечетные числа, а отсюда простые числа-близнецы шли бы подряд в натуральном ряду, все сто процентов простых чисел были бы простыми числами-близнецами.

Нам надо вычислить, какое количество чисел натурального ряда делает составными умножение всех чисел натурального ряда на порядковый номер 3. Очевидно, умножение всех чисел натурального ряда на порядковый номер 3 делает составными треть чисел натурального ряда, так как умножение чисел натурального ряда на порядковый номер 3 имеет «шаг» или «прыжок» на 3 числа в натуральном ряду.

Но в то же время не все эти числа натурального ряда сделало составными умножение чисел натурального ряда на порядковый номер 3, половина этой трети чисел натурального ряда уже были составными в силу умножения чисел натурального ряда на порядковый номер 2.

Мы приходим к выводу, что умножение чисел натурального ряда на порядковый номер 3 делает самостоятельно составными:

                                               1/3 Х  1/2 = 1/6

                      И следующее действие:

                                                  1/3   -  1/6 = 1/6

                     Как видим, 1/6 часть оставшихся чисел натурального ряда чисел самостоятельно делает составными умножение чисел натурального ряда на порядковый номер 3.

                       Вычислим общее количество чисел натурального ряда, которые делают составными умножение чисел натурального ряда на порядковые номера 2 и 3:

                                                 1/2 + 1/6 = 2/3

           Итак, умножение чисел натурального ряда на первые два порядковых номера делают составными 2/3 чисел натурального ряда. Если бы натуральный ряд делали составными только эти два порядковых номера, то 2/3 часть чисел натурального ряда были бы составными, а 1/3 часть чисел натурального ряда были бы простыми.

Теперь мы должны умножать натуральный ряд на порядковый номер 4. Но произведения порядкового номера 4 на натуральный ряд уже сделали составными умножение натурального ряда на порядковый номер 2. Аналогично дело обстоит с произведениями чисел натурального ряда на порядковые номера делящихся на ранее рассмотренные нами порядковые номера, например, на порядковый номер 3, а отсюда мы должны далее умножать числа натурального ряда только на простые порядковые номера, так как только они делают самостоятельно составными последующие числа натурального ряда.

Тем самым, следующий порядковый номер который нам следует рассмотреть должен быть простой порядковый номер. А следующим простым порядковым номером в натуральном ряду после простого порядкового номера 3 является простой порядковый номер 5. Обратим внимание, каждый простой порядковый номер в силу его умножения на числа натурального ряда позволяет выявить хотя бы ближайшее к нему простое число.

Первым составным числом, которое делает самостоятельно составным следующий простой порядковый номер 5, является квадрат этого простого порядкового номера, то есть число 25, а тем самым до числа 24 натуральный ряд делали составными только простые порядковые номера 2 и 3. Мы вычислили, что эти два простых порядковых номера делают составными 2/3 чисел натурального ряда, а 1/3 часть чисел натурального ряда остаются простыми. А тем самым до числа 24 составными должны быть 2/3 чисел, а простыми 1/3 чисел.

  Вот эти числа. Простые:

  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

  И составные:

  4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21,  22,  24.

          Фактически мы видим, что простыми числами до числа 24 являются 9 чисел, а составными же являются 14 чисел. И действительное количество простых и составных чисел согласуется с нашими вычислениями. В самом деле, простой порядковый номер 3 делает самостоятельно составными числа натурального ряда начиная с квадрата этого числа, а при этом в натуральном ряду одно число, а именно число 2 уже было простым. В силу этого количество простых чисел до числа 24 возрастает на 1, и простых чисел оказывается не 8, а 9. В то же время число 1 является ни простым, ни составным числом, в силу чего составных чисел до числа 24 оказывается только 14.

Обратим внимание, что простой порядковый номер 3 делает составным каждое шестое нечетное число, вследствие чего простые числа-близнецы в натуральном ряду в каждом шестом случае «разбиваются», то есть не идут подряд во всем натуральном ряду. Благодаря простому порядковому номеру 3 становятся составными числа 9, 15 и 21.

В то же время, вследствие того, что в каждом шестом же случае, соответствующее число делится и на 2 и на 3, то числа-близнецы имеют место в натуральном ряду. Эти числа, которые одновременно делятся и на 2 и на 3, числа 6, 12, 18, 24.

Мы можем заключить, что промежуточное число всех чисел-близнецов в натуральном ряду должны обязательно делиться и на 2 и на 3, так как число 2 делает составным каждое четное число в натуральном ряду, а произведения чисел натурального ряда на число 3 в каждом шестом случае имеют общими делителями и число 2, и число 3. В то же время рядом не со всеми числами, делящимися и на 2 и на 3, располагаются простые числа-близнецы, так как соответствующие числа могут делиться на большие простые порядковые номера.

Но как часто встречались бы числа-близнецы в натуральном ряду в том случае, если натуральный ряд делали бы составными только порядковые номера 2 и 3? Если бы натуральный ряд делали составными только умножение простых порядковых номеров 2 и 3 на числа натурального ряда, то 1/3 часть чисел натурального ряда были бы простыми. Из них половина были бы простыми числами-близнецами, то есть 1/6 часть чисел натурального ряда состояло бы из простых чисел-близнецов. При дальнейшем умножении чисел натурального ряда на простые порядковые номера, очевидно, все новые потенциально простые числа-близнецы будут «разбиваться», некоторые числа станут составными, то есть мы можем сделать следующий вывод:

Количество простых чисел-близнецов по мере умножения чисел натурального ряда но простые порядковые номера в натуральном ряду  будет все меньше и меньше.

Вот что пишет Тобиас Данцинг в своей книге «Числа язык науки»: «С другой стороны, было показано, что так называемые парные простые числа, такие как (3,5), (5, 7), (11, 13), (17,19), (29,31), (41, 43) и т. Д. становятся все реже и реже с ростом абсолютных значений. Эту замечательную теорему доказал голландский математик Брунс в 1919 году». (1)

Мы же пришли к выводу Брунса на основе простых умозаключений. Каждый новый простой порядковый номер при его умножении на числа натурального ряда делает составными все новые числа в натуральном ряду, в том числе те числа, которые бы образовали простые числа-близнецы, если бы натуральный ряд мы не умножали на данный простой порядковый номер.  А тем самым простых чисел-близнецов в натуральном ряду по мере умножения чисел натурального ряда на новые простые порядковые номера становится все меньше.

 Но такое уменьшение простых чисел-близнецов по мере продвижения в натуральном ряду, как мы далее покажем, идет неравномерно по всему натуральному ряду, если иметь в виду сравнительно малые промежутки чисел в натуральном ряду. Иными словами, в малом интервале в области больших чисел могут встречаться неожиданные скопления простых чисел – простые числа триплеты, простые числа квадруплеты, хотя в целом по мере продвижения в натуральном ряду простых чисел-близнецов станет меньше.

Следующий порядковый номер, который мы должны рассматривать, простой порядковый номер 5.  Умножение чисел натурального ряда на порядковый номер 5 имеет «шаг» или «прыжок» 5, то есть порядковый номер 5 делает составными каждое пятое число натурального ряда, но в то же время не все эти числа составными сделал умножение чисел натурального ряда на простой порядковый номер 5. Действительно, определенную их часть уже сделали составными умножение чисел натурального ряда на простые порядковые номера 2 и 3.

Половину из этих чисел уже сделало составными порядковый номер 2. Отсюда:

                           1/5 х 1/2 = 1/10.

Далее:  1/5 – 1/10 = 1/10  

                        Итак, 1/10 часть этих чисел уже сделало составными умножение натурального ряда чисел на порядковый номер 2.

          Отсюда, на долю порядкового номера 5 остается только 1/10 часть чисел натурального ряда. Но и 1/10 часть чисел натурального ряда порядковый номер 5 делает составными не самостоятельно. 1/6 часть чисел из этой величины делает составными порядковый номер 3.

         Отсюда:

                     1/5 х1/ 6 = 1/30

                     Далее:

1/10 – 1/30 = 1/15

                     Как видим, порядковый номер  5 делает самостоятельно составными только 1/15 часть чисел натурального ряда.

           Вычислим количество составных чисел, которые  делают составными умножение чисел натурального ряда на рассмотренные 3 простых порядковых номера.

            2/3 + 1/15 = 10/15 +1/ 15 = 11/15 ≈ 0,733

            Итак, составными стали приблизительно 0, 733 часть чисел натурального ряда, а остальная часть натурального ряда являются простыми числами.

             Обратим внимание, что простой порядковый номер 5 делает самостоятельно составным только квадрат этого числа.  То же самое мы можем сказать о любом простом порядковом номере, то есть каждый простой порядковый номер, который мы будем рассматривать,  сделает самостоятельно  составным только квадрат этого числа. Отсюда для проверки простоты определенного числа достаточно это число делить до того простого числа квадрат которого лежит в пределах величины проверяемого на простоту числа. Первым математиком, указавшим на это, был Фибоначчи (Леонардо Пизанский).

Как мы уже сказали, рассмотренные простые порядковые номера сделали составными 11/15 часть чисел натурального ряда. А так как следующий простой порядковый номер 7 делает самостоятельно составным число 49, то до числа 48 количество составных чисел должно быть 11/15 часть, а число простых чисел 4/15 часть. Так ли это?

Произведем вычисления:

48 : 15= 3, 2

11 Х 3, 2 ≈ 35 – количество составных чисел.

4 Х 3,2 ≈ 13 – количество простых чисел.

Вот простые числа до числа 48:

           2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

          Как видим, количество простых чисел в действительности 15. И причина этого заключается в том, что простой порядковый номер 5 делает самостоятельно простым квадрат этого же числа, а при этом в натуральном ряду уже содержались 2 простых числа, эти числа 2 и 3.

Следующий порядковый номер, который нам нужно рассмотреть – это простой порядковый номер 7. Умножение простого порядкового номера 7 на числа натурального ряда делают составными 1/7 часть чисел натурального ряда. Но не все эти числа порядковый номер 7 делает самостоятельно составными. Определенная  часть чисел были уже составными благодаря порядковым номерам 2, 3 и 5.

Порядковый номер 2 сделало из этой величины составными половину чисел. Отсюда:

                           1/7 х 2 = 1/14

            И далее: 1/7 – 1/14  = 1/14

           Порядковый номер 3 сделало из этой величины составными шестую часть:

                            1/7 х 6 = 1/42; 

           И отсюда:     1/14 – 1/42 = 1/21

Порядковый номер 5 уже сделало из этой величины составными пятнадцатую часть:

                             1/7 х 15 = 1/105;

            И отсюда: 1/21 – 1/105 = 4/105

            Таким образом, наши вычисления привели к выводу, что  порядковый номер 7 самостоятельно делает составными 4/105 часть чисел натурального ряда чисел или приблизительно 1/26 часть чисел натурального ряда.

            Вычислим часть составных чисел образованных простыми порядковыми номерами 2, 3, 5 и 7.

           11/15 + 1/26 = 27/35

                     Или десятичными дробями – 0, 7714285 часть чисел.

Если бы натуральный ряд делали составными только рассмотренные простые порядковые номера, то составных чисел в натуральном ряду было бы 27/35 часть, а простых чисел 8/35 часть. Поскольку следующий простой порядковый номер 11 самостоятельно делает составным только квадрат этого числа, то есть число 121, то до числа 120 количество простых и составных чисел должно быть в указанной пропорции. Так ли это? Сделаем вычисления.

Вот список простых чисел до 120:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

 120 : 35 =  3,4285714

3, 4285714 Х 8 ≈ 27 простых чисел.

3, 4285714 Х 27 ≈ 93 составных чисел

Фактически до 120 простых чисел 30. И причина этого заключается в том, что 7 первым самостоятельно делает квадрат этого числа, а до 7 уже были три простые числа. Эти числа 2, 3 и 5.

Следующий простой порядковый номер, который нам необходимо рассмотреть, это порядковый номер 11. Умножение порядкового номера 11 на числа натурального ряда делают составными 1/11 часть чисел натурального ряда чисел. Но не все эти числа порядковый номер 11 сделало составными самостоятельно. Определенную часть из них сделали составными  простые порядковые номера 2, 3, 5 и 7.

Простой  порядковый номер 2 сделало составными из этой величины половину:                  

                     1/11 х 1/2 = 1/22:

                    Отсюда: 1/11 – 1/22 = 1/22;

Простой порядковый номер 3 сделало составными из этой величины шестую часть.

 1/11 Х 1/6 = 1/66

Отсюда:

1/22 – 1/66 = 1/33

Простой  порядковый номер 5 сделало составными из этой величины 1/15 часть.                           

 1/11 Х 1/15 = 1/165

Отсюда:

1/33 – 1/165 = 4/165

Простой порядковый номер 7 сделало составными из этой величины примерно 4/105 часть чисел. Отсюда:

 1/11 Х 4/105 = 4/1155

Отсюда:

4/165 – 4/ 1155 = 8/385

Таким образом, умножение порядкового номера 11 на числа натурального ряда делает самостоятельно составными примерно 8/385 часть чисел натурального ряда. Или приближенно 1/48 часть чисел натурального ряда. То же в десятичных дробях – 0, 0 208.

Вычислим процентное соотношение составных и простых чисел в натуральном ряду, если бы натуральный ряд делали составными только простые порядковые номера 2, 3, 5, 7 и 11.

Простые порядковые номера 2, 3, 5 и 7 по нашим подсчетам сделали составными 27/35 часть чисел натурального ряда, а простой порядковый номер 11 сделал составным приблизительно 8/385 часть чисел натурального ряда.

Отсюда:

27/35 + 8/385 = 61/77

Или то же десятичными дробями – приблизительно 0, 79 часть чисел натурального ряда составные, а 0, 21 часть чисел простые.

Достигнет ли количество составных чисел сделанных составными в силу умножения чисел натурального ряда на следующие простые порядковые номера величины 0,21 часть чисел натурального ряда? Сделаем соответствующее вычисление.

Мы можем сказать, что в дальнейшем количество составных чисел в натуральном ряду сделанных составными  следующими простыми порядковыми номерами будет убывать в сравнении с составными числами сделанных составными предыдущим простым порядковым номером быстрее бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Но для удобства вычислений примем, что в дальнейшем, по мере умножения чисел натурального ряда на простые порядковые номера, количество составных чисел в натуральном ряду сделанных составными этими простыми порядковыми номерами в сравнении с составными числами сделанных составными предыдущими простыми порядковыми номерами приближенно будут убывать как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

В таком случае первый член геометрической прогрессии -          0, 0208, второй член геометрической прогрессии  - 0, 0159, знаменатель геометрической прогрессии  - 0, 764, и данная прогрессия стремится к величине        ≈ 0, 088135.

Итак, последующие простые порядковые номера в силу умножения их на числа натурального ряда сделают составными приблизительно 0, 088 часть чисел натурального ряда. В натуральном ряду были уже составными 0, 79 часть чисел, а в целом в натуральном ряду согласно нашим вычислениям составными будут      0, 878 часть чисел. Отсюда простых чисел в натуральном ряду бесконечно и они составляют 0, 122 часть чисел натурального ряда.

Как видим, на основе решета Эратосфена мы дали новое доказательство бесконечности простых чисел в натуральном ряду и преимуществом нашего доказательства является то, что мы указали процентное  соотношение составных и простых чисел в натуральном ряду. Простых чисел в натуральном ряду 0, 122 часть чисел, а составных чисел в натуральном ряду 0, 878 часть чисел, а отсюда 12,2 % чисел в натуральном ряду являются простыми, а 87,8 % чисел в натуральном ряду являются составными.

Продолжим наши вычисления. Прежде всего скажем о том, что следующий простой порядковый номер 13 самостоятельно делает составным квадрат этого числа, то есть число 169. Отсюда до числа 168 количество составных и простых чисел должно быть в указанной пропорции, то есть 61/77 часть чисел составными, а 16/77 часть чисел простыми. Так ли это? Сделаем вычисления:

168 : 77 ≈ 2, 182

2, 182 Х 61≈ 133

2, 182 Х 16 ≈ 35

Вот простые числа до числа 168:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71  73 79 83 89 97 101 103 107 109 113  127 131 137 139 149 151 157 163 167

Фактическое количество простых чисел 39, а согласно нашим вычислениям их должно быть только 35. Здесь дело в том, что число 11 делает самостоятельно составным число 121, а до числа 11 простыми были 4 числа, которые и следует прибавить к вычисленному нами количеству простых чисел.

Далее мы свои вычисления пошагово приводить не будем. Но скажем о том, что если сделать аналогичные соответствующие вычисления, то мы можем вычислить количество простых и составных чисел в натуральном ряду до квадрата определенного простого числа. В то же время, хотя этот метод приводит к точному вычислению количества простых и составных чисел в натуральном ряду до квадрата определенного простого числа, но практического значения данный метод не имеет, так как требует предварительных сложных вычислений.

Наш метод выявления составных и простых чисел в натуральном ряду приводит к выводу, что по мере продолжения наших вычислений в натуральном ряду составных чисел будет все больше, а количество простых чисел, скажем, на каждое тысячу чисел, будут уменьшаться. В самом деле, натуральный ряд мы умножаем на простые порядковые номера и, хотя,  каждый следующий простой порядковый номер при умножении на числа натурального ряда имеет все больший «шаг», «прыжок», но, тем не менее, количество составных чисел по мере продвижения в натуральном ряду все более увеличиваются, и, как следствие, количество потенциальных простых чисел, если иметь в виду, например, как мы уже писали, на тысячу чисел, уменьшается.

Ранее мы писали, что уменьшение количества простых чисел-близнецов по мере продвижения в натуральном ряду хотя и будет наблюдаться, но такое уменьшение не будет идти  равномерно в сравнительно коротких интервалах чисел натурального ряда. Действительно, в каком-то месте натурального ряда простых чисел-близнецов может быть меньше, по мере продвижения надо было бы ожидать что их будет еще меньше, но неожиданно они встречаются часто. Мы сказали, что объясним причину этого, что и сделаем.

Здесь дело в том, что произведения простых порядковых номеров на числа натурального ряда могут совпадать, например, некоторые числа могут иметь несколько общих простых делителей в области небольших по величине чисел, и в данном случае в натуральном ряду мы увидим скопление простых чисел, то есть простые числа могут образовать простые числа-близнецы, простые числа триплеты, простые числа квадруплеты, как и произведения простых порядковых номеров в области небольших чисел на числа натурального ряда могут не совпадать, а в данном случае мы в натуральном ряду увидим довольно длинные промежутки, когда подряд идут составные числа.

Таким образом, в каком-то интервале натурального ряда простых чисел может быть меньше, но в другом интервале простых чисел больше, хотя последний интервал расположен в области более больших чисел. Но сказанное относится к довольно малым интервалам чисел в натуральном ряду, так как в больших интервалах чисел, как мы уже сказали, составных чисел становится все больше, а простых чисел все меньше, в том числе и простых чисел-близнецов.

Сказанное нами можно проиллюстрировать расположением простых и составных чисел начиная с числа 100 и кончая числом 127. Начиная с простого числа 101 до простого числа 113 встречаются пять простых чисел, то есть встречается целое скопление простых чисел, а начиная с простого числа 113 до простого числа 127 подряд идут 14 составных чисел.

Вот таблица простых чисел до 127:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127

Как мы уже писали, скопление простых чисел между простыми числами 101 и 113 должно встречаться в силу того, что составные числа между рассматриваемыми простыми числами, а именно числа 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112 одновременно имеют в качестве делителей ряд простых порядковых номеров в области небольших по величине чисел.

Так ли это? Рассмотрим соответствующие числа. В рассматриваемом нами примере, число 102 делится на 2, 3 и 17 ,  а число 104 делится на 2 и 13, а 105 делится на 3, 5 и 7, а число 108 делится на 2 и на 3,  а простое число 11 имеет делителями 99 и 110 и т. Д..    Благодаря этим счастливым обстоятельствам в данном интервале чисел натурального ряда мы и наблюдаем скопление простых чисел.

И наоборот, то, что между простыми числами 113 и 127 идут подряд 14 составных чисел объясняется тем, что произведения простых порядковых номеров образуют разные числа. В рассматриваемом нами примере особенно интересно число 120. Оно делится и на 2, и на 3, и именно в этом случае, как мы уже писали, должны образоваться простые числа-близнецы. Но простые числа делают составным и число 119 и число 121. Число 121 является квадратом простого числа 11. А число 119 является произведением простых чисел 7 и 17.  Кроме того в рассматриваемом  нами случае числа 115 и 125 одновременно не делятся и на 3 и на 5. Благодаря этим счастливым обстоятельствам в натуральном ряду и идут подряд четырнадцать составных чисел.

Здесь мы вспомним знаменитую «Гипотезу Римана», которая была сформулирована немецким математиком Георгом Фридрихом Бернардом Риманом в 1859 году. Согласно ей, характер распределения простых чисел может существенно отличаться от предполагаемого в настоящее время. Дело в том, что математикам до сих пор не удавалось обнаружить какой-либо системы в характере распределения простых чисел. Так, считается, что в окрестности целого числа х среднее расстояние между последовательными простыми числами пропорционально логарифму х. Тем не менее, уже давно известны так называемые парные простые числа (простые числа-близнецы, разность между которыми равна 2): 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Иногда они образуют целые скопления, например 101, 103, 107, 109 и 113. У математиков давно существовало подозрение, что такие скопления существуют и в области очень больших простых чисел, однако ни доказать, ни опровергнуть это утверждение до сих пор не удавалось.

Мы с достаточным основанием можем сказать, что гипотеза Римана правильна и она доказана. В самом деле, как мы показали, скопления простых чисел образуются в том случае, когда некоторые числа имеют несколько  общих простых делителей среди малых по величине простых чисел, а также несколько общих простых делителей среди малых по величине простых чисел имеют числа располагающиеся вблизи этих чисел. Поскольку натуральный ряд образуется умножением простых чисел в натуральном ряду на простые порядковые номера чисел  натурального ряда или возведением в ту или иную степень простого порядкового номера, то такие числа в натуральном ряду неизбежно будут встречаться, как бы далеко мы не продвигались в натуральном ряду. Тем самым, мы приходим к выводу, что такие скопления простых чисел будут встречаться и в области очень больших чисел. По этой же причине простых чисел-близнецов должно быть бесконечно много.

Действительно, такие скопления простых чисел неизбежно будут встречаться по мере продвижения в натуральном ряду, поскольку некоторые числа  имеют общих простых делителей среди малых простых чисел. В то же время умножение больших простых чисел на большие простые числа могут разбивать определенные простые числа в таких скоплениях, то есть некоторые числа могут стать составными, а тем самым в данном случае скопления простых чисел не будут встречаться в определенном промежутке больших чисел.

Но почему произведения  больших простых чисел на большие простые числа или той или иной степени простого числа всегда будут разбивать такие кластеры по мере продвижения в натуральном ряду, мы не сможем доказать, хотя таких скоплений и должно стать меньше. Действительно, вероятность образования таких кластеров только уменьшается, но не сводится к нулю. А отсюда скопления простых чисел неизбежно будут встречаться и в областях очень больших чисел. Тем самым мы можем сказать, что гипотеза Римана правильна, и мы обосновали правильность гипотезы Римана.

Далее дадим список, какую часть чисел делают составными порядковые номера до простого порядкового номера 53:

2 – 1/2 = 0,5

3 - 1/6 ≈ 1,6666666

5- 1/15 ≈ 0, 066666

7- 1/26 ≈  0, 0 384615

11 - 1/48 ≈ 0, 0208333

13 - 1/63 ≈ 0.0158730158730159

17 - 1/89 ≈ 0.0112359550561798

19 - 1/105 ≈ 0.0095238095238095

23 - 1/136 ≈ 0.0073529411764706

29 - 1/177 ≈ 0.0056497175141243

31 - 1/195 ≈ 0.0051282051282051

37 - 1/241 ≈ 0.004149377593361

41 - 1/280 ≈ 0.0035714285714286

43 - 1/296 ≈ 0.0033783783783784

47- 1/340 ≈ 0.0029411764705882

53 - 1/388 ≈ 0.0025773195876289

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Каждый новый простой порядковый номер имеет все больший «шаг» или «прыжок», а отсюда при умножении этого простого порядкового номера на числа натурального ряда составными становятся все меньшее количество чисел. При этом первое число, которой делает самостоятельно составным данный простой порядковый номер, это квадрат данного простого порядкового номера.  А это означает, что плотность простых чисел даже в областях очень больших чисел не уменьшится сколько-нибудь значительно, простые числа в областях очень больших чисел будут встречаться довольно плотно. Действительно, большие простые числа могут сделать составными тысячную, далее стотысячную часть чисел натурального ряда, а еще большие простые числа сделают составными числа натурального ряда с еще большим «шагом», «прыжком».

Это обстоятельство было известно. Вот что пишет Тобиас Данцинг в своей книге «Числа язык науки»: «Следующий вопрос касается распределения простых чисел. Мы можем говорить, например, о плотности простых чисел, т.е. о количестве простых чисел, например, в любой тысяче чисел. Это, конечно, то же самое, что пересчитать все простые числа, меньшие заданного числа. Решая эту задачу, многие современные математики продемонстрировали чудеса изобретательности, но вполне удовлетворительное решение все еще не получено. Однако мы знаем уже достаточно много, чтобы заключить, что простые числа не располагаются намного реже по мере увеличения абсолютных значений». (2)

Мы же пришли к тому же результату другим, намного более простым путем.

Как известно, Гаусс, как он сообщил в письме к Энке в 1792 или 1793 году чисто эмпирически обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму». (3)

Мы здесь можем выдвинуть следующую гипотезу. Для очень больших чисел  формула Гаусса не выполняется, то есть распределение простых чисел в натуральном ряду уже не описывает функция интегрального логарифма, так как, как мы показали, по мере продвижения к очень большим числам в натуральном ряду плотность простых чисел существенно не уменьшается.

ЗУБАИРОВ ЮНУС ФАРИТОВИЧ

452721 Республика Башкортостан, Буздякский р/н, п/о Каран,  дер. Ново-Актово.

 

 

  

 

Цитированная литература:

 

  1. Тобиас Данцинг «Числа - язык науки».    Техносфера. Москва. 2008 год.  с. 52.
  2. Тобиас Данцинг. «Числа - язык науки».    Техносфера. Москва. 2008 год.  с. 54
  3. Дербишер. «Простые числа». 2010, с. 178-179.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Опубликовано 16 января 2017 года




© Portalus.ru, возможно немассовое копирование материалов при условии обратной индексируемой гиперссылки на Порталус.
Ваше мнение?