Ю.И.Семенов,
кандидат философских наук

К развитию гипотезы функциональных семантических конструкций.

В статье излагается гипотеза о функциональной семантической структуре числа и денег. В первой части коротко рассматривается дискуссия о проблемах математической онтологии и сущности числа, имевшая место во второй половине ХХ века, и излагается гипотеза функционально-семантической конструкции чисел. Определяется, что числа являются средствами, а не объектами математики и система чисел включает формальную систему цифровых обозначений и совокупность объектов математики. Показывается, что натуральные и конечные десятичные числа могут быть обоснованы в онтологии дискретных предметов, а действительные числа – только в онтологии непрерывного континуума.

Во второй части излагается гипотеза функциональной семантической конструкции денег и кратко рассматривается история возникновения денег.

ЧИСЛА: ОБЪЕКТЫ И ИХ ОБОЗНАЧЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Единственной философской позицией, которая утверждает существование математической онтологии, является платонизм. Однако, если у Платона речь идет о существовании всеобщих понятий, форм или идей, которые предшествуют существованию отдельных предметов, то математический платонизм второй половины ХХ века утверждает существование «математических предметов» («mathematical entities»). Практически все авторы, причисляющие себя к сторонникам математического платонизма, употребляют термин «mathematical entities», однако, в большинстве случаев явно не определяется авторами, что подразумевается под этим: число, как универсалия или общая форма в платоновском смысле, или число, как отдельный предмет. Как общую тенденцию можно определить, однако, то, что при употреблении термина «mathematical entities» речь идет, все-таки, о математических отдельных предметах, преимущественно, о числах, множествах и функциях (например, C.Chihara[i], M.Dummett[ii], а так же P.Maddy, M.Resnik и др.), и реже - об универсалиях[iii]. Правда, математические предметы понимаются чаще как абстрактные в том смысле, что они существуют вне пространства и времени.

Вторым общим признаком математического платонизма второй половины ХХ века является то, что у большинства авторов непосредственно не рассматриваются и, соответственно, явно не различаются онтологическая позиция платонизма и позиция реализма по отношению к математике, т.е. большинство авторов употребляют оба понятия в одном и том же смысле. Явное употребление понятий онтологической позиции платонизма и реализма по отношению к математике как синонимов можно найти у H.Field[iv] и P.Maddy[v], а явное различение этих понятий - у H.Putnam[vi] и C.Wright[vii].

Возможность для возрождения онтологической позиции платонизма в математике во второй половине ХХ века дали без сомнения тезисы W.Quine о роли математических высказываний в контексте естественных наук[viii]. Согласно этим тезисам, не существует качественного отличия в онтологическом и эпистемологическом статусе естественнонаучных и математических высказываний и придание онтологического статуса тем или иным конкретным или абстрактным предметам зависит только от того, содержатся ли указания на эти предметы в высказываниях, которые являются необходимыми для формулирования наиболее простой и эффективной теории, и от областей значений переменных, связанных с этими указаниями. Так как математические высказывания являются необходимой составной частью теории мира, то математические предметы, о которых они высказываются, должны, согласно этим тезисам, получить онтологический статус.

Позиция, которой придерживаются H.Putnam и C.Wright, определять реализм на основании того, что условия истинности математических утверждений являются независимыми от человеческих способностей познавать значения истинности, была сформулирована еще M.Dummett в 1963 г.[ix] и поддержана позже H.Putnam[x]. Согласно этому определению реализма, признание онтологического статуса математических предметов, не является безусловно необходимым, если «независимо от нас существующая реальность» способна устанавливать значения истинности математических утверждений. Математический реализм становится обычно удачно дополненным онтологической позицией платонизма, так как последний конкретизирует понятие «независимо от нас существующей реальности» и объясняет, как она может определять значения истинности математических предложений независимо от наших познавательных способностей. Сам же платонист может быть, либо реалистом в указанном выше смысле, либо, наряду с утверждением существования математических предметов, определять математическую истину как доказываемость, а ложь – как опровергаемость. Правда, в этом случае возможна ситуация, что некоторым предложениям невозможно приписать однозначно то или другое значение истинности.

Математический платонизм, таким образом, содержит в общем два основных, но независимых друг от друга тезиса об онтологии и семантике математических теорий. Онтологический тезис утверждает, что математические теории занимаются абстрактными объектами, которые существуют независимо от человеческого сознания, а также их свойствами и отношениями. Семантический тезис утверждает, что математические утверждения имеют четкие значения истинности, которые не зависят от наших способностей познавать эти значения. Однако, в большинстве современных платонистских концепций онтологический тезис рассматривается как основа для семантического тезиса. Причиной этому является то, что, как уже было отмечено выше, платонистская онтология удачно дополняет математический реализм и делает возможным применение денотационной семантики к математическим высказываниям.

Указанное сочетание онтологического и семантического тезисов образует, так называемую, современную стандартно-платонисткую позицию в математике. Такое понимание стандартно-платонистской позиции эксплицитно сформулировано у M.Dummett[xi], C.Chihara[xii], M.Steiner[xiii], N.Goodman[xiv], M.Resnik[xv], W.Tait[xvi], J.McDowell[xvii] и имплицитно содержится у Mac Lane[xviii], H.Field[xix], M.Balaguer[xx] и др.

Современный математический платонизм или стандартно-платонистскую позицию в математике в общем можно охарактеризовать следующим образом:

1. Принимается, что математика имеет собственную область предметов и истинностные значения математических утверждений определяются по отношению к этой области предметов.

2. Семантика математических предложений выводится из их грамматических структур, что позволяет применять к математическим высказываниям «обычные» денотационные теории значения.

3. По отношению математических высказываний принимается, что они обозначают математические предметы. Поэтому условия истинности математических утверждений не отличаются принципиально от условий истинности обыкновенных утверждений языка.

4. Математика как наука рассматривается с позиций научного реализма, что означает, что математика по своей сущности не отличается от эмпирических наук.

Скептические аргументы против современного варианта платонизма в математике высказал Paul Benacerraf в своих статьях «What Numbers Could Not Be» (1965)[xxi] и «Mathematical Truth» (1973)[xxii], благодаря чему математический платонизм оказался в последней трети ХХ века в центре пристального внимания многих математиков и философов.

В статье «What Numbers Could Not Be» (1965) П.Бенацерраф рассматривает на примере арифметики онтологические трудности математического платонизма. Согласно П.Бенацеррафу, в рамках математического платонизма вопрос должен ставится чисто в онтологической формулировке, т.е. о том, чем в действительности явлются числа? Задача поэтому состоит в том, чтобы показать, к каким предметам относится термин «число». В качестве исходного пункта анализа П.Бенацерраф принимает, однако, положение теоретико-множественной интерпретации математики, что числа есть множества.

П.Бенацерраф предполагает далее, что должно существовать некоторое «корректное описание» («correct account») чисел. При этом допускается существование различных по содержанию описаний чисел, которые остаются тем не менее корректными, если все они описывают один и тот же предмет, полагаемый как число. Иначе говоря, возможно существование интенсионально различных описаний чисел, но эти описания являются корректными, если они экстенсионально тождественны.

Согласно П.Бенацеррафу, корректное теоретико-множественное описание чисел должно вести к образованию бесконечного множества ω, элементами которого являются предметы, полагаемые как числа, которые также рассматриваются как множества. Кроме того, говоря «обычным математическим» языком, это множество чисел должно быть по сути возрастающим рядом натуральных чисел. Эти требования к корректному теоретико-множественному описанию чисел П.Бенацерраф дополняет еще рядом других требований, среди которых также такие, как условия выполнения арифметических операций и общие условия применения множества ω.[xxiii] Тем не менее, сформулированное таким образом описание множеств, полагаемых в качестве чисел, и которое, согласно П.Бенацеррафу, являеются необходимым и достаточным, допускает в экстенсиональном плане, как минимум, две известные теоретико-множественные интерпретации чисел, а именно, интерпретацию Цермело и интерпретацию Нэйманна. Исходя из этого, П.Бенацерраф заключает, что числа не могут быть множествами. Этот вывод он распространяет затем на любую попытку сопоставить термину «число» какой-либо предмет. Согласно П.Бенацеррафу, арифметика исследует свойства абстрактных структур: «Number theory is the elaboration of the properties of all structures of the order type of the numbers»[xxiv].

На основе проведенного анализа[xxv] Р.Бублак делает вывод, что числа sui generis, как они существуют, не могут быть вообще идентифицированы как числа, если следовать анализу П.Бенацеррафа, это связано, по его мнению, с тем, что аргументация П.Бенацеррафа является не корректной и он ошибается, когда полагает, что указанные условия корректности описания чисел являются достаточными для поставленной перед ними задачи.[xxvi]

Р.Бублак отмечает дальше: «Позиция арифметического или даже математического платонизма не является решающим образом опровергнутой в «What Numbers Could Not Be». Структуралистские предложения Бенацеррафа оказываются, как это показано, не достаточно хорошо обоснованными, чем он хочет это показать. И наряду с уже оговоренными трудностями имеется также, как минимум, еще одна, которая касается структуралистского понимания чисел. Если числовые выражения относятся ни к предметам, то к чему тогда?

[…] Как следовало бы понимать роль терминов, которые ничего или, по крайней мере, ничего внешнеязыковое не обозначают? Как должна была бы выглядеть в этом случае подходящая семантика для арифметических высказываний? Ответ на эти вопросы остается за Бенацеррафом.»[xxvii]

Р.Бублак видит, как минимум, три возможных варианта защиты стандартно-платонистской позиции перед онтологической аргументацией П.Бенацеррафа:

1. Структурный платонизм, который признает аргументацию П.Бенацеррафа, но остается на стандартно-платонистской позиции. Искомыми математическими предметами здесь становятся не числа как отдельные предметы, а математические структуры.

2. Арифметический платонизм, который возможен только тогда, когда опровергнут хотя бы один из двух аргументов (ОА1), (ОА2) или (ОА3)[xxviii]. Только после этого можно было бы утверждать, что натуральные числа, а также все действительные числа, являются естественными математическими предметами. В этом случае задачей арифметического платонизма становится, либо дать корректное описание чисел, либо показать, почему оно принципиально не возможно.

3. Теоретико-множественный платонизм, который признает правоту П.Бенацеррафа по отношению чисел и других «мнимых» математических предметов, но, однако, сохраняет онтологический базис математики, утверждая, что множества являются единственными математическими предметами, которые существуют. Здесь становится, правда, необходимым объяснить, как следует понимать математические высказывания, содержащие числовые выражения, и что числовые термы обозначают, если они не обозначают предметы.[xxix]

Первая и третья позиции являются явным отказом от дальнейших исследований в направлении поиска таких предметов как математические числа. Вторая позиция обусловлена онтологической аргументацией П.Бенацеррафа. Однако, онтологическая аргументация П.Бенацеррафа в том виде, как она реконструирована Р.Бублаком, выходит за пределы явной «обычной» предметной области арифметики и основывается в своих выводах (ОА3) и (ОА4) на допущении, что множества принадлежат к предметной области арифметики. Так как (ОА3) и (ОА4) присоединены к (ОА1) и (ОА2) на основании предположения П.Бенацеррафа, что числа являются множествами, то можно предпринять другую попытку, приняв иное предположение о том, чем являются числа. И, если ставится задача найти числа как они есть в арифметике, предметная область которой не рассширена путем проведения различных теоретико-множественных интерпретаций, то (ОА3) и (ОА4) должны быть изъяты из онтологической аргументации. Тем самым выполняется условие возможности арифметического платонизма, сформулированное Р.Бублаком.

Новая гипотеза о числах как отдельных предметах будет развиваться, исходя из следующих обстоятельств, присущих арифметике:

(1НГ) Арифметика «внешне выглядит» как формальная наука, содержащая только формальный язык и, соответственно, не имеющая онтологического базиса.

(2НГ) Утверждения арифметики, тем не менее, имеют однозначные значения истинности, которые они получают независимо от наших способностей познавать условия истинности арифметических утверждений.

В докладе «Mathematical Truth» П.Бенацерраф показал, что ни стандартный подход (математический платонизм), ни комбинаторный подход не являются удовлетворительными, так как каждый из этих подходов имеет как достоинства, так и недостатки.[xxx]

Принципиальное различение, вводимое П.Бенацеррафом, между стандартным и комбинаторным подходами состоит в том, что стандартный подход приписывает математическим высказываниям очевидный синтаксис (и очевидную семантику), а комбинаторный подход игнорирует очевидные синтаксис и семантику и пытается условия истинности установить (или фактическое распределение значений истинности указать и объяснить) на основе очевидно несемантических синтаксических рассмотрений. Различие между этими обоими способами рассмотрения состоит, прежде всего, в различном понимании математических объектов. В этом вопросе П.Бенацерраф представляет радикальную точку зрения: он исходит из того, что математические объекты не являются чувственно воспринимаемыми и не имеют места в мире-пространстве-времени. Поэтому имеется только альтернатива: либо они есть объекты платоновского неба идей, либо они являются чистыми знаками без значения.

По отношению к математическому платонизму позиция П.Бенацеррафа является весьма скептической. Он не принимает позицию математического платонизма по причине не согласия с ее онтологической частью: математический платонизм, в его классическом и современном варианте, не может предложить ничего другого в качестве объектов математики вместо идей Платона, соответственно, базирующиеся на предпосылке «математические объекты имеют онтологический статус» остальные положения математического платонизма также не могут быть принятыми.

В математике действительные числа записываются при помощи знаков математического языка, а при десятичной записи все действительные числа могут быть представлены в виде конечной или бесконечной последовательности цифр. Кроме того, многие математические процедуры с числами выглядят как формальные процедуры с группами цифр. Однако, является очевидным, что числа есть нечто большее чем просто цифры, т.е. феномен числа охватывает нечто большее, чем только такой предмет как знак-цифра. Знак-цифра есть только одна из составных частей такого феномена как число. Задача состоит в том, чтобы найти к чему относятся знаки-цифры, иначе говоря, найти, что еще является составной частью числа и описать структуру числа.

Различные интерпретации числа, среди них также и теоретико-множественная интерпретация числа, не могут дать ответ на этот вопрос, так как они выходят при интерпретации числа за пределы арифметики. Не имея достаточно удовлетворительного ответа на вопрос «Что такое число?», можно, как это показывает история математики, предпринимать различные интерпретации числа.

(1НГ) содержит предпосылку, что арифметике выглядит как формальная наука. Это далее означает, что арифметика сводится к формальному языку. Поэтому исследование основ математики тесно связано с развитием теории языка. Одним из важнейших источников современной теории языка являются работы Г.Фреге, которые посвящены, однако, прежде всего, исследованию основ арифметики и математики.

В «Основоположениях Арифметики» (1884) Г.Фреге критикует распространненные ответы на вопросы «Что такое числа?» и «Какой познавательный статус имеет математическая истина?». При этом необходимо учесть, что его критика и далее его собственный ответ на эти вопросы исходят из логицизма, фундаментальным тезисом которого является положение, что математика есть дальнейшее развитие логики. Поэтому Г.Фреге изначально рассматривает математику как формальную науку и, поскольку философская аргументация Г.Фреге не ограничивается здесь только философией математики, но затрагивает также важные проблемы философии языка, постольку теория языка Г.Фреге также несет на себе отпечаток его исходной методологической позиции.

Во Введении к «Основоположениям Арифметики» Г.Фреге формулирует несколько принципов своего исследования. Для нас интерес представляет только один из этих принципов, а именно, так называемый, «контекстпринцип»: «Nach der Bedeutung der Wörter muß im Satzzusammenhänge, nicht in ihrer Vereinzelung gefragt werden»[xxxi]. Согласно этому принципу, значения слов устанавливаются исходя из предложения в целом, т.е. исходя из контекста, а не на основе обособления слов. Из контекстпринципа также следует, что наименьшей семантической единицей языка является не слово, а предложение, и слова характеризуются в предложении только через их семантическую роль. Контекстпринцип противопоставляется референц-семантическому подходу к исследованию языка. Это противопоставление, может быть, было актуально во времена Г.Фреге, но сегодня вряд ли кто-нибудь объявляет себя приверженцем референц-семантического подхода, тем не менее аналитическая философия остается на изначальной отнолого-критической позиции:

«Mit dem Primat der Satzbedeutung wird die Vorstellung abgewehrt, jedem Wort entspreche ein Gegenstand. Eine referenzsemantische „Name-Gegenstandstheorie“ liegt dann nahe, wenn ich isoliert nach der Bedeutung einzelner Worte frage. Wenn ich mich frage, was der Allgemeinbegriff „Pferd“ bedeutet, könnte ich annehmen, er bezeichne eine Idee, ein Wesen oder etwas Universales. Um solchen Erklärungen Glauben zu schenken, bedarf es der Annahme von Gegenständen, die es zumindest in einer mit den Sinnen wahrnehmbaren Welt nicht gibt. Es gibt zwar einzelne Pferde, aber es gibt kein allgemeines Pferd. Auf der Basis der skizzierten Erklärungsstrategie ist man genötigt, eine ganze Reihe von ‚Gegenständen‘ einzuführen, die noch nie jemand gesehen hat und die auch niemand je sehen wird. Man muß eine reichhaltige und unüberprüfbare Ontologie entwickeln und die Existenz aller möglichen Gegenstände annehmen. Dadurch entsteht eine Vielzahl von Komplikationen. […] Frege hat genau eine derartige Problemlage im Blick, wenn er ganz zu Beginn der Grundlagen der Arithmetik scheinbare Definitionen wie „Die Zahl Eins ist ein Ding“ problematisiert. In dem skizzierten Sinn ist die Position Freges, und dies gilt für die gesamte ihm folgende Tradition der analytischen Philosophie, ontologiekritisch.»[xxxii]

Референц-семантический подход исходит из того, что язык состоит только из слов, которые являются именами. Аналитическая философия заслуженно критикует такой подход и, кроме этого, утверждает, что язык состоит из логико-семантических единиц (предложений), из контекста которых устанавливаются семантические роли слов. Последнее утверждение аналитической философии не вызывало бы проблем и, соответственно, возражений, если бы оно также как и референц-семантический подход не давало определения сущности языка на основе абсолютизации одного из свойств языка, которое может быть отнесено только к языку как уже ставшему.

Логицистско-семантический подход утверждает предложение как семантическую единицу языка, в рамках которой устанавливается семантическая роль слов – если при этом речь идет просто о предложении, а не о том или ином определении, то, действительно, из контекста предложения можно установить какие «семантические роли» слов использованы в этом предложении, однако, это можно сделать, если уже известен спектр возможных «семантических ролей» (который может состоять только из одной «семантической роли») каждого или большинства слов в предложении. Если же рассматривается некоторое явное или не явное определение, то в таком предложении устанавливается новая «семантическая роль» одного из слов (вновь введенного или уже используемого до этого, но в других «семантических ролях») этого предложения. Так может происходить обогащение языка путем его логико-семантического развития. Логико-семантическое развитие языка предполагает, что всегда уже имеется некоторый начальный арсенал слов, относительно которых известно хотя бы по одной «семантической роли», чтобы можно было строить «семантические единицы» языка, т.е. предложения. Невозможно построить «семантическую единицу» языка из тех слов, относительно которых не известно ни одной «семантической роли». Это был бы бессмысленный набор звуков. Если теперь изменить аспект рассмотрения и перейти из аналитического исследования языка к исследованию его генезиса, то следует поставить вопрос о том, как возможно образование изначального арсенала слов с «семантическими ролями»? В рамках логицистско-семантического подхода этот вопрос не может получить какого-либо удовлетворительного ответа, так как «семантические роли» слов образуются, согласно логицистско-семантическому подходу, в самих предложениях. Здесь возникает тогда замкнутый круг в объяснении или же необходимо привлечение какого-нибудь метафизического начала, чтобы сохранить чистоту логицистско-семантического подхода.

Однако, чистота логицистско-семантического подхода была нарушена уже самим же Г.Фреге. Дальнейшее развитие Г.Фреге его собственной теории языка показывает, что абсолютный логико-семантический подход к исследованию языка стал узок и для самого Г.Фреге. В развитой Г.Фреге теории смысла вводится уже различение между смыслом выражения и его значением, т.е. его референцией. В теории смысла уже не только смысл является определяющим для предложения, но и значение, так как оно является его значением истинности.

Можно спорить о чистоте логицистско-семантического подхода, использующего теорию смысла Г.Фреге, но это не имеет значения для исследования генезиса и сущности языка и, соответственно, сущности математики, если предложение по-прежнему рассматривается как минимальная семантическая единица языка. Если H.Sluga считает, что Г.Фреге остался верен своему контектспринципу (Kontextprinzip)[xxxiii], то M.Dummet представляет мнение, что Г.Фреге не следовал более своему Kontextprinzip, когда он начал интерпретировать предложения как имена значений истинности.[xxxiv] Но даже при последней оценке событий предложения продолжают рассматриваться как семантические единицы.

Действительно, Kontextprinzip и, соответственно, рассмотрение предложения как семантической единицы языка, имеет всеобщее значение для трудов Г.Фреге и аналитической философии, что подчеркивают T.Blume и C.Demmerling:

«Das Kontextprinzip gibt Auskunft über den grundsätzlichen Stellenwert der Sprachanalyse. Es macht deutlich, daß die Grundprinzipien der philosophischen Sprachanalyse aus der Verbindung einer antipsychologistischen und einer ontologiekritischen Position entstehen.»

и далее «Unstrittig jedenfalls ist die wirkungsgeschichtliche Bedeutung des Kontextprinzips. Den Stellenwert, den es in den Grundlagen der Arithmetik für die gesamte Architektonik von Freges Denken einnimmt, wird man ebenfalls nur schwerlich bestreiten können.»[xxxv]

Развитие теории языка Г.Фреге было связано также с критикой формальных теорий в арифметике. В «Основоположениях Арифметики» и в докладах на заседаниях Йенского научного общества он критикует недостатки этих теорий и, в частности, формальное понимание того, что есть функция и число. Относительно формального определения понятия функции он пишет: «Diese Antwort kann nicht befriedigen, weil dabei Form und Inhalt, Zeichen und Bezeichnetes nicht unterschieden werden …»[xxxvi]

Он критикует также формальное понимание чисел просто как знаков-цифр:

«Ich habe schon früher[xxxvii] auf die Mängel der gangbaren formalen Theorien in der Arithmetik hingewiesen. Man spricht da von Zeichen, die keinen Inhalt haben, noch haben sollen …

Die jetzt sehr verbreitete Neigung, nichts als Gegenstand anzuerkennen, was nicht mit den Sinnen wahrgenommen werden kann, verleitet dann dazu, die Zahlzeichen selbst für die Zahlen, für die eigentlichen Gegenstände der Betrachtung zu halten; und dann wären ja freilich 7 und 2 + 5 verschieden.»[xxxviii]

В примечании он подчеркивает: «Es handelt sich dabei immer darum, mit einem Zeichen einen Sinn oder eine Bedeutung zu verbinden. Wo Sinn und Bedeutung ganz fehlen, kann eigentlich weder von einem Zeichen, noch von einer Definition die Rede sein.»[xxxix]

В качестве итога этого краткого обзора развития теории языка Г.Фреге, можно сказать, что Г.Фреге одновременно критиковал наивно-формальные теории в арифметике и референц-семантический подход в философии языка и развил, исходя из этой критики, формально-семантическую теорию языка, в которой он позже сделал уступки референц-семантическому подходу, введя различение между смыслом и значением, но сохранив при этом как конститутивный принцип философии языка понимание предложений как минимальных семантических единиц языка.

Ограничение нижнего семантического уровня языка уровнем предложений не позволяет в свою очередь применять теоретический инструментарий философии языка, основанной на контекстпринципе, для исследования сущности, структуры и генезиса языка, так как контектспринцип предполагает уже достаточно развитый язык, т.е. предполагает уже наличие такого множества слов, обладающих смыслами и/или значениями, которое достаточно для образования предложений.

Исследование генезиса языка возможно только при отказе от абсолютизации контекстпринципа. Для этого необходимо ограничить действие контекстпринципа только синтаксическим уровнем языка, т.е. уровнем предложений, и допустить, что язык имеет более низкие семантические уровни, чем уровень предложений. На синтаксическом уровне языка контекстпринцип будет означать тогда только то, что, если слово имеет несколько значений и/или смыслов, то только из контекста предложения можно установить какое из его значений или смыслов употреблено в предложении. В качестве же минимальной семантической единицы следует принять знак, обладающий смыслом или значением, и необходимо допустить, что образование знаков-обладающих-значением есть процесс, который происходит в рамках языка, но не только на уровне предложений, а также на более низком уровне языка, чем его синтаксический уровень. Соответственно, разрушается логицистско-семантическая концепция языка, так как предполагается теперь, что референц-семантические образования являются базисом языка и онтология языка является неотъемлемой частью теории языка. Применительно к математике это должно разрушить привычный образ математики как формальной науки. Задача по отношению к математике состоит теперь в том, чтобы реконструировать референц-семантические образования математического языка и показать где они находятся в рамках математики и арифметики.

Необходимость развития онтологии для математики показывается также тем, что попытка логицистско-семантического подхода обосновать математические уравнения приводит к возникновению замкнутого круга в объяснении.

Под математическими выражениями Г.Фреге понимает знаки-числа «1», «2» и т.д. и математические высказывания «1+1», «3-2» и т.д. Свою позицию «Знаки чисел и другие арифметические выражения имеют значение» он противопоставляет позиции формальных теорий «Знаки чисел есть сами числа». Если знаки чисел есть сами числа, то, пишет он, «7 и 2+5» были бы различными выражениями и здесь образовывалось бы неравенство: 7 ≠ 2+5.

Г.Фреге полагает, что его позиция позволяет обосновать, что эти выражения имеют одно и то же значение:

«Wenn man also von den Zahlzeichen ihre Bedeutungen unterscheiden muss, so wird man auch den Ausdrücken „2“, „1 + 1“, „3 – 1“, „6 : 3“ dieselbe Bedeutung zu erkennen müssen…»[xl]

Таким образом, Г.Фреге устанавливает вначале, что знаки чисел имеют значение, и в результате этого он полагает возможным обосновать арифметические уравнения через значения знаков чисел и арифметических выражений. С этим можно согласиться, но проблема возникает в обосновании значений знаков чисел. Согласно Г.Фреге, свойства чисел связаны с их значениями, но сами свойства чисел для Г.Фреге есть математические уравнения:

«[…] weil man gar nicht von irgendwelchen arithmetischen Eigenschaften der Zahlen sprechen kann, ohne auf die Bedeutung der Zahlzeichen zurückzugehen. Die Eigenschaft der 1 z.B., mit sich selbst multipliziert sich selbst wieder zu ergeben,…»[xli]

В этом пункте и возникает замкнутый круг в объяснении, так как, например, свойство числа «1» есть математическое уравнение 1х1=1. Математические уравнения обосновываются у Г.Фреге через значения арифметических выражений и знаков чисел; значение арифметических знаков чисел связано со свойствами чисел, однако свойства чисел есть сами математические уравнения.

Этот круг в обосновании является следствием логико-семантического понимания языка. И эта проблема показывает, что не возможно обосновать утверждения языка, исходя из самих утверждений языка, т.е. чисто логическим путем.

Кроме того, логицистско-семантический подход позволяет анализировать только понятия, которые содержит язык. Если математика употребляет числа в выражениях и уравнениях как предзаданные, то невозможно логически вывести сущность и структуру числа с помощью логико-семантического анализа выражений и уравнений.

Однако, если математика знает о числах только их свойства, которые сами есть математические уравнения или следуют из математических уравнений, то возникает вопрос о том, откуда математика имеет эти уравнения? Этот вопрос указывает на трудности аналитической философии, которые вытекают из ее онтолого-критической позиции. Из этого не следует, что нужно вернуться к наивному референц-семантическому подходу, но это означает, что необходимо отказаться от логицистско-семантического подхода к математике и, соответственно, к языку. Чтобы приступить к онтологическому исследованию математики и языка, нужно, говоря языком Ф.Бэкона, освободить разум от двух «идолов»: отказаться от убеждения, что математика есть только формальная система, а язык - только логико-семантическое образование. Математика всегда имела проблемы с онтологией и отсутствие удовлетворительной онтологии математики ведет далее к невозможности применения теории корреспонденции истины к математическому знанию и к необходимости признания математического знания как формально-логической системы. Однако, формальные системы типа Principia Mathematica также не являются безпроблемными, что показывает теорема о неполноте К.Геделя[xlii].

Приступая к изложению гипотезы о сущности и структуре чисел в арифметике и математике, будем исходить из того, что основу языка образуют референц-семантические конструкции, которые представляют собой референт-именные конструкции и на основе которых далее возможно уже формирование синтаксического уровня языка. Соответственно, основу языка арифметики и математики образуют также референт-именные конструкции. По моему мнению, таковыми конструкциями в математике являются числа от 0 до 9 включительно. Это предположение базируется на том, что цифры от 0 до 9 включительно не являются описаниями и на основе этих цифр образуются остальные числовые высказывания. Однако, сами цифры от 0 до 9 не являются числами, а только именами в референтно-именных конструкциях. К каким предметам относятся тогда эти цифры как имена? Учитывая (1НГ), эти предметы должны принадлежать той предметной области, которая образована знаками математического языка. В натуральных числах речь идет о количествах дискретных предметов, которыми могут быть различные предметы, в том числе и знаки математического языка. Поэтому в формальной арифметике вполне допустимо, что цифры от 1 до 9, которые являются знаками арифметического (математического) языка, могут относиться как имена к самим же знакам арифметического языка. Одним из возможных вариантов является то, что арифметика имплицитно содержит референтно-именные конструкции, в которых цифры от 1 до 9 как имена относятся к конкретным количествам, образованным из цифр 1. Эти референтно-именные конструкции можно реконструировать и затем эксплицировать в виде арифметических утверждений: 1=1; 2=1+1; 3=1+1+1; …; 9=1+1+1+1+1+1+1+1+1. В этом случае такие предметы, как конкретные количества, образованные из цифр 1, становятся объектами арифметики, которые отличаются от объектов эмпирических наук только тем, что они образованы из знаков арифметического языка и поэтому расположены в пределах арифметического языка. Эти объекты можно назвать натуральными объектами арифметики. Реконструированные арифметические референтно-именные конструкции (РИК-ции или просто рикции) следовало бы определить как базисные рикции арифметического языка. В десятичной системе чисел указанные девять базисные рикции и описание значения цифры 0 (цифра 0 обозначает отсутствие какого-либо арифметического объекта) образуют множество базисных семантических единиц арифметического языка, которое является необходимым и достаточным для описания всех остальных арифметических натуральных объектов.

В двоичной системе чисел необходимым и достаточным для описания всех арифметических натуральных объектов множеством базисных семантических единиц является множество, образованное из рикции 1=1 и описания значения цифры 0.

Для образования системы натуральных чисел в целом необходимо задать следующие элементы системы:

1. Предмет, принятый для образования объектов, например, знак-цифра «1», который называется «мера».

2. Правило образования последовательности объектов: исходный объект есть знак-цифра «1», каждый последующий объект есть предыдуший объект, увеличенный на знак-цифру «1».

3. Знак, обозначающий процедуру увеличения предыдущего объекта на исходный объект, например, знак «+».

4. Последовательность объектов согласно п.п. 2 и 3: «1», «1+1», «1+1+1» и т.д.

5. Базисное число «нуль», т.е. знак, обозначающий отсутствие любого объекта из последовательности объектов (п.4), например, знак-цифра «0».

6. Натуральные базисные числа, т.е. знак, обозначающий исходный объект, например, знак-цифра «1» и знаки, обозначающие последующие объекты, например, знаки-цифры «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8», «9». В десятичной системе чисел последней базисной семантической единицей является число «девять», а в двоичной системе чисел – число «один».

7. Правило образования натуральных синтаксических чисел[xliii] (чисел-описаний), т.е. описаний остальных объектов в последовательности объектов, заданной в п.4, при помощи семантических единиц, заданных в п.п. 5 и 6, и правил синтаксиса. Значения базисных семантических единиц в синтаксическом числе зависят от значений базисных семантических единиц, заданных в п.п. 5 и 6, а также от их места в самом синтаксическом числе. Например, в существующих современных системах чисел значение базисных семантических единиц, если они стоят на первом справа месте в синтаксическом числе, не изменяется. Если семантические единицы ставятся на второе, третье и т.д. справа место в синтаксическом числе, то в этих семантических единицах принимается новый предмет в качестве меры. В качестве новой меры принимается объект, который образуется на основании правила (п.2) из объекта последней базисной семантической единицы на соседнем месте справа, если оно существует, в синтаксическом числе.

Если рассматривать систему натуральных чисел N, то эта система содержит натуральные базисные (референтно-именные) числа и натуральные синтаксические числа, однако, для образования натуральных синтаксических чисел является также необходимым задания базисного числа «нуль». Система натуральных чисел N0 содержит, в отличие от системы N, все базисные числа и натуральные синтаксические числа.

Согласно изложенной гипотезе о числах, последние являются не объектами математики, а ее средствами, поэтому математика не способна своими математическими средствами исследовать и описывать сущность и структуру чисел, так как они сами являются средствами математики. С помощью чисел исследуются свойства конкретных количеств (образованных из дискретных объектов), которые и есть объекты математики, точнее, арифметики. Поэтому, если говорить об онтологии арифметики, то следует говорить об онтологии дискретных объектов, о которых также необходимо отметить, что они не явлются абстрактными объектами.

На основе онтологии дискретных объектов могут быть образованы также конечные десятичные числа, которые могут быть образованы только как синтаксические числа. Для этого необходимо дополнительно ввести правило образования субмер и правило образования конечных десятичных синтаксических чисел.[xliv] Все натуральные и конечные десятичные числа можно обозначить как количественные числа, так как в этих числах речь идет всегда о конкретных количествах мер и/или субмер.

Очевидным кажется утверждение, что количественные свойства любой конечной совокупности дискретных предметов могут быть исследованы и описаны посредством системы количественных чисел. Однако, утверждение «Если некоторая «бесконечная» совокупность дискретных предметов может быть представлена как растущая согласно некоторой закономерности совокупность дискретных предметов, то количественные свойства этой бесконечной совокупности дискретных предметов могут быть описаны посредством системы количественных чисел» является не столь очевидным и требует обоснования.

Все «бесконечные» десятичные числа, т.е. бесконечные периодические числа, которые в современной математической классификации чисел, относятся к рациональным числам, и бесконечные непериодические числа, т.е. иррациональные числа, не могут быть отнесены к количественным числам. Это связано с тем, что в «бесконечных» десятичных числах речь идет не о конкретных количествах мер и/или субмер: ни одно «бесконечное» десятичное число не описывает какое-либо конкретное количество мер и/или субмер и ни одна «бесконечная» десятичная дробь не обозначает какое-либо конкретное количество мер и/или субмер. Однако, «бесконечные» десятичные дроби указывают на некоторые конечные величины (длины, площади и т.д.). Это обстоятельство показывает, что «бесконечные» десятичные числа предполагают иную онтологию, чем онтология дискретных предметов (например, так называемый, континуум точек), а именно, онтологию континуума, характеризующегося непрерывностью. Непрерывный континуум может быть квантифицирован посредством тех или иных величин, принятых в качестве мер и субмер, а также на этом континууме могут быть образованы такие величины, которые не могут быть квантифицированы посредством этих же мер и субмер. Поэтому все действительные числа могут быть обоснованы в рамках онтологии континуума, однако из этого не следует, что каждая величина континуума включена в то или иное действительное число.

Континуум точек является совокупностью дискретных объектов и каждая точка в континууме может быть интерпретирована как мера или некоторая субмера, поэтому континуум точек может быть описан посредством системы количественных чисел. Из этого следует, что в континууме точек ни одна точка не может соответствовать какому-либо «бесконечному» десятичному числу. При допущении, что некоторые точки континуума точек все-таки соответствуют «бесконечным» действительным числам, оказывается, что «бесконечные» десятичные числа охватывают некоторое конкретное количество точек. Это противоречит определению «бесконечных» десятичных чисел. Чтобы избежать этого противоречия необходимо было бы принять, что «бесконечные» десятичные числа охватывают такие множества точек, которые не поддаются количественному определению. Но тогда становится непонятным, как на континууме точек, содержащем множества точек, которые не поддаются количественному определению, можно образовать количественные числа.

Эти рассуждения ставят под сомнение допустимость установления аксиоматического соответствия между линейным множеством точек и множеством действительных чисел, принятого Г.Кантором. Кроме того, вопрос о том, способна ли система действительных чисел описать континуум непрерывных величин, не только не получает какой-либо обоснованный ответ, но и остается вообше не сформулированным. Но, если принять этот вопрос во внимание, то он приводит к необходимости рассматривать континуум непрерывных величин отдельно от множества возможных синтаксических описаний, которые можно построить на основе десятичной знаково-цифровой системы. Обе диагональные процедуры Г.Кантора исследуют тогда количественные свойства десятичной знаково-цифровой системы, т.е. занимаются исследованием количественных свойств чисто формальной знаково-цифровой системы.

Построение этой формальной знаково-цифровой системы начинается с построения подсистемы обозначений для объектов натуральных чисел. Затем строится подсистема обозначений для объектов конечных десятичных чисел в области каждого натурального числа. Обе эти подсистемы образуют подсистему обозначений для объектов количественных чисел. Количественное соотношение между этими двумя подсистемами определить достаточно легко. Для этого можно ввести понятие глубины обозначений дла объектов конечных десятичных чисел Т. Например, глубина обозначения 0,1 равна 2, глубина обозначения 0,007 равна 3. Нетрудно далее описать закономерность прироста обозначений дла объектов конечных десятичных чисел в области одного какого-либо натурального числа (например, все десятичные числа, которые больше 0 и меньше 1 принадлежат области натурального числа 1). Подсистема обозначений дла объектов конечных десятичных чисел в области одного натурального числа и при глубине 0 < Т ≤ 1 содержит 9 обозначений, при глубине 0 < Т ≤ 2 содержит 99 обозначений и т.д. Подсистема обозначений для объектов количественных чисел в области одного натурального числа и при глубине 0 < Т ≤ 1 содержит тогда 10 обозначений, при глубине 0 < Т ≤ 2 содержит 100 обозначений и т.д. Количество (А) обозначений для объектов количественных чисел во всей подсистеме, т.е. при количестве обозначений для объектов натуральных чисел, которое равно N, и при глубине подсистемы обозначений для объектов конечных десятичных чисел Т, такой, что N=T, может быть описано следующей формулой:

А = N10T= N10N

Если рассматривать подсистему обозначений для объектов количественных чисел с бесконечной (бесконечно растущей) глубиной, то в этой системе имеются обозначения для объектов конечных десятичных чисел, которые имеют также бесконечную глубину. Количество таковых обозначений в системе, которые не заканчиваются на 0, определяется по формуле:

А = N(10T - 10T-1)

Первоначально кажется, что эта формула описывает количество обозначений для объектов бесконечных десятичных чисел в системе обозначений для объектов действительных чисел. Однако, это не так.

Если представить линейный континуум, который квантифицирован посредством мер и далее последовательно посредством субмер бесконечно возрастающей глубины, то линейный континумм будет представлять собой бесконечно растущее множество бесконечно уменьшающихся квантифицированных интервалов. Особенность неквантифицируемых величин состоит в том, что левая граница любого такого интервала образована точкой, обозначенной цифрой 0, а правая граница всегда находится внутри какого-либо бесконечно уменьшающегося квантифицированного интервала. Правая граница неквантифицируемой величины обозначается всегда через обозначение левой границы квантифицируемого уменьшающегося интервала, хотя она находится внутри этого интервала. Из этого можно сделать вывод, что каждому обозначению для объекта количественного числа соответствует одно обозначение для объекта «бесконечного» десятичного числа и наоборот. Поэтому количество обозначений для объектов «бесконечных» десятичных чисел равно количеству обозначений для объектов количественных чисел. Из этого далее следует, что, например, число 0 меньше соответствующего «бесконечного» десятичного числа 0,000…0…, или 0,1 меньше, чем 0,1000…0… и т.д.[xlv]

Приведенные выше рассуждения показывают, что каждому элементу бесконечной подсистемы обозначений для объектов количественных чисел соответствует один и только один элемент бесконечной подсистемы обозначений для объектов «бесконечных» десятичных чисел и наоборот, что противоречит результату второй диагональной процедуры Г.Кантора. Согласно диагональной процедуре первого вида, бесконечное множество рациональных чисел является счетным и, согласно диагональной процедуре второго вида, бесконечное множество действительных чисел является несчетным.

Однако, множество рациональных чисел отличается от множества количественных чисел тем, что оно содержит дополнительно бесконечные периодические числа. Поэтому бесконечное множество количественных чисел и, соответственно, бесконечное множество обозначений для объектов количественных чисел, также является счетным. Если каждому элементу бесконечного множества обозначений для объектов количественных чисел соответствует один и только один элемент бесконечного множества обозначений для объектов «бесконечных» чисел и наоборот, каждому элементу бесконечного множества обозначений для объектов «бесконечных» десятичных чисел соответствует один и только один элемент бесконечного множества обозначений для объектов количественных чисел, то бесконечное множество обозначений для объектов «бесконечных» чисел также является счетным. Соответственно, бесконечное множество обозначений для объектов действительных чисел также является счетным. Бесконечное множество действительных чисел, образованное при помощи бесконечной системы обозначений для объектов действительных чисел, также являтся тогда счетным. Однако, это не означает, что множество величин в непрерывном континууме является счетным.

Продолжение следует.


--------------------------------------------------------------------------------

[i] «The mathematician who feels no sympathy with intuitionistic qualms about the law of the excluded middle, who can see nothing wrong with such notions as the set of all real numbers or with impredicative specifications of sets, and who thinks that mathematicians theorize about abstract objects and not mental constructions or string symbols, would generally be characterized as a Platonist.» (Стр. 62 в: Chihara Charles. Ontology and the Vicious-Circle Principle. Ithaca, NY: Cornell University Press, 1973).

[ii] «Platonism is the doctrine that mathematical theories relate to systems of abstract objects, existing independently of us…» (Стр. 301 в: Dummett Michael. Frege: Philosophy of Mathematics. London: Duckworth, 1991).

[iii] Определение математических форм, структур и понятий как универсалий встречается у N.Goodman (впервые опубликовано в: American Mathematical Monthly, 1979; позже в: Coodman Nicholas. Mathematics as an Objective Science // New Direction in the Philosophy of Mathematics. Ed. Tymoczko Thomas, Boston: 1985, pp. 79-94. P. 91), H.Putnam (Journal of Symbolic Logic, 1980). Models and Reality//Philosophy of Mathematics. Ed. Benacerraf Paul, Putnam Hilary. Cambridge: Cambridge University Press, 1983, pp.421-444. P. 421-422) и др.

[iv] «A mathematical realist, or Platonist, (as I will use these terms) is a person who (a) believes in the existence of mathematical entities (numbers, functions, sets and so forth), and (b) believes them to be mind-independent and language-independent.» (Стр. 1 в: Field Hartry. Realism, Mathematics and Modality. Oxford: Basil Blackwell, 1989).

[v] «Here I will take it [‘Platonism’ – прим. Автора] in a broad sense as simply synonymous with ‘realism’ as applied to the subject matter of mathematics: mathematics is the scientific study of objectively existing mathematical entities just as physics is the study of physical entities.» (Стр. 20-21 в: Maddy Penelope. Realism in Mathematics. Oxford: Clarendon Press, 1992).

[vi] «…the extreme Platonist position, which posits nonnatural mental powers of directly “grasping” forms […]; … the moderate realist position which seeks to preserve the centrality of the classical notions of truth and reference without postulating nonnatural mental powers.» (Стр. 45 в: Hilary Putnam. Models and Reality. Journal of Symbolic Logic. 1980).

[vii] «Arithmetical platonism, as the view that the natural numbers constitute a unique domain of genuine objects, and arithmetical realism, as the view that number-theoretic truth is independent of and, in certain cases, possibly inaccessible to human inquiry, are mutually extricable doctrines.» (Стр. ХХ в: Wright Crispin. Frege’s Conception of Numbers as Objects. Aberdeen: Aberdeen University Press, 1983). Эта позищия восходит к позиции M.Dummett (1963).

[viii] Quine, Willard Van Orman. Two Dogmas of Empiricism (1951). В: Quine, Willard Van Orman. From a Logical Point of View: 9 Logico-Philosophical Essays. Cambridge, Harvard University Press, 1953.

[ix] «Realism I characterise as the belief that statements of the disputed class possess an objective truth-value, independently of our means of knowing it: they are false in virtue of a reality existing independently of us.» (Стр. 146 в: Dummett Michael. Truth and Other Enigmas. 2nd impression, London: Duckworth, 1992).

[x] «I am indebted to Michael Dummett for the following very simple and elegant formulation of realism: A realist (with respect to a given theory or discourse) holds that (1) the sentences of that theory or discourse are true or false; and (2) that what makes them true or false is something external – that is to say, it is not (in general) our sense data, actual or potential, or the structure of our minds, or our language, etc.» (Putnam Hilary. 1975. What is mathematical truth? В: Putnam Hilary. Mathematics, Matter and Method. Philosophical Papers. Volume 1. Second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1979, pp. 69-70).

[xi] Dummett, Michael. 1967. Platonism. Invited address to the Third International Congress on Logic, Methodology and Philosophy of Science, Amsterdam. В: Dummett, Michael. 1978. Truth and Other Enigmas. 2nd impression 1992. London: Duckworth.

[xii] Chihara, Charles. Ontology and the Vicious-Circle Principle. Ithaca, NY: Cornell University Press, 1973.

[xiii] Steiner, Mark. Mathematical Knowledge. Ithaca, N.Y.: Cornell University Press, 1975.

[xiv] Coodman, Nicholas. Mathematics as an Objective Science // New Direction in the Philosophy of Mathematics. Ed. Tymoczko Thomas, Boston: 1985.

[xv] Resnik, Michael. Mathematics as A Science of Patterns: Ontology and Reference. 1981, Nous 15.

[xvi] Tait, William. Truth and Proof: The Platonism of Mathematics. Synthese 69, 1986.

[xvii] McDowell, John. 1992. Mathematischer Platonismus und Dummettscher Antirealismus. В: Forum fuer Philosophie Bad Homburg. Realismus und Antirealismus. Frankfurt am Main: Suhrkamp, 1992.

[xviii] Mac Lane, Saunders. Mathematics: Form and Function. New York, Berlin, Heidelberg, Tokio: Springer, 1986.

[xix] Field, Hartry. Realism, Mathematics and Modality. Oxford: Basil Blackwell, 1989.

[xx] Balaguer, Mark. A Platonist Epistemology. Synthese 103, 1995.

[xxi] Benacerraf, Paul. What Numbers Could Not Be. Philosophical Review, 1965, 74.

[xxii] Benacerraf, Paul. Matheamtical Truth. Journal of Philosophy. 1973, 70, 661-679.

[xxiii] R.Bublak выделяет у П.Бенацеррафа 7 условий корректного описания чисел. См. стр. 38-39: Bublak, Robert. Mathematische Gegenstaende und mathematisches Wissen: ueber die ontologischen und epistemologischen Probleme des mathematischen Platonismus. LMU Muenchen, 1997.

[xxiv] Benacerraf, Paul. What Numbers Could Not Be. Philosophical Review, 1965, 291.

[xxv] См. стр. 42-50 в: Bublak, Robert. Mathematische Gegenstaende und mathematisches Wissen: Ueber die ontologischen und epistemologischen Probleme des mathematischen Platonismus. LMU Muenchen, 1997.

[xxvi] Там же, стр. 50.

[xxvii] Там же, стр. 50-51. (Пер. Авт.)

[xxviii] Р.Бублак выделяет следующие положения онтологической аргументации П.Бенацеррафа, содержащиеся в «What Numbers Could Not Be»:

«(OA1) Если имена чисел должны обозначать предметы некоторой области А, то эти предметы, соответственно, эта область, должны (muessen) позволить себя однозначно идентифицировать.

(ОА2) В случае, если предметы, соотносимые с термами чисел, позволяют себя однозначно идентифицировать, то все корректные описания (Darstellungen) чисел должны (muessen) идентифицировать область чисел и каждое отдельное число, чтобы не возникало расхождений.

(ОА3) Имеется, как минимум, два корректных описания чисел, которые отличаются друг от друга.

(ОА4) Имена чисел не обозначают никакие предметы, а также их область.» (стр. 34. Пер. Авт.).

[xxix] Там же, стр. 52.

[xxx] Детальное изложение позиции П.Бенацеррафа представлено в: Ю.И.Семенов. Философия арифметики. Штрих: 1999. Стр. 153-183.

[xxxi] Frege, Grundlagen der Arithmetik, S. 23.

[xxxii] Blume, Demmerling, Grundprobleme der analytischen Sprachphilosophie, S.23-24.

«С главенством значения целого предложения отвергается представление, что каждому слову соответствует предмет. Референц-семантическая теория «Имя-предмет-теория» лежит тогда ближе, если я изолированно о значении отдельных слов спрашиваю. Если я спрашиваю себя, что общее понятие «лошадь» означает, то я мог принять, что оно обозначает идею, сущность или нечто универсальное. Чтобы таким объяснениям доверие придать, требуется принятие предметов, которых, как минимум в смысле чувственно-воспринимаемого мира, не существует. Имеются, правда, отдельные лошади, однако, не существует лошадь вообще. На основе набросанной стратегии объяснения является необходимым ввести целый ряд «предметов», которые еще никто не видел и которые никто не увидит также в будущем. Нужно развить весьма богатую и непроверяемую онтологию и принять существование всех возможных предметов. Это ведет, однако, к многочисленным сложностям. […] Фреге имеет именно этого рода проблемную ситуацию в виду, когда он проблематизирует в самом начале «Основ Арифметики» псевдо определения «число один есть одна вещь». В указанном смысле позиция Фреге является онтологи-критической и это действительно для всей ему следующей традиции аналитической философии.»

[xxxiii] Sluga, Hans. Frege and the Rise of Analytical Philosophy, P. 478.

[xxxiv] Dummett, Michael.The Interpretation of Freges Philosophy, P. 360 ff.

[xxxv] Blume, Thomas. Demmerling, Christoph. Grundprobleme der analytischen Sprachphilosophie. «Контекстпринцип указывает, что является основопологающим в анализе языка. Он проясняет, что основные принципы философского анализа языка возникают из связи антипсихологической и онтологи-критической позиций» ( S. 24); «Неоспоримым в любом случае является историческое значение контекстпринципа. Равно трудно опровержимым является и значимость, которую он приобретает в «Основах Арифметики» для совокупной архитектоники мышления Фреге» (S. 25).

[xxxvi] Frege, Funktion und Begriff, стр. 19 в: Frege. Funktion, Begriff, Bedeutung: fünf logische Studien. Herausgegeben und eingeleitet von Günther Patzig, 4., ergänzte Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht in Göttingen, 1975. S. 17-39.

«Этот ответ не может удовлетворить, так как при этом форма и содержание, знак и обозначенное становятся не различенными …»

[xxxvii] Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau 1884, § 92 u.ff., und Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, Jahrg. 1885, Sitzung vom 17. Juli.“ (die Bemerkung von Frege, S.19).

[xxxviii] Frege, Funktion und Begriff, стр. 19-20 в: Frege. Funktion, Begriff, Bedeutung: fünf logische Studien. Herausgegeben und eingeleitet von Günther Patzig, 4., ergänzte Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht in Göttingen, 1975. S. 17-39.

«Я уже ранее указывал на недостатки распространенных формальных теорий в арифметике. В них говорят о знаках, которые не имеют и не должны иметь содержания …

Теперь очень распространенная склонность, ничто, что не может быть воспринято чувствами, как предмет признавать, соблазняет тогда к тому, чтобы сами числовые знаки держать за числа, за собственно предметы рассмотрения; и тогда, конечно, были бы 7 и 2+5 различными.»

[xxxix] Там же, стр. 20: «Речь идет при этом всегда о том, чтобы с некоторым знаком связать некоторый смысл или значение. Где смысл и значение полностью отсутствуют, там, собственно, не может быть речи ни о знаке, ни о дефиниции.»

[xl] Frege, Funktion und Begriff, стр. 20 в: Frege. Funktion, Begriff, Bedeutung: fünf logische Studien. Herausgegeben und eingeleitet von Günther Patzig, 4., ergänzte Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht in Göttingen, 1975. S. 17-39.

«Итак, если нужно отличать от числовых знаков их значения, то следует придать выражениям „2“, „1 + 1“, „3 – 1“, „6 : 3“ одно и то же значение …»

[xli] Там же: «[…] так как совершенно не возможно говорить о каких-либо арифметических свойствах чисел без того, чтобы не идти назад к значению числовых знаков. Свойство [числа] 1, например, умноженое само на себя само себя снова выдавать,…»

[xlii] Goedel, Kurt. Ueber formal unentscheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (1931). Monatshefte fuer Mathematik und Physik, Vol. 38, S. 173-198.

[xliii] На основе любого натурального синтаксического числа может быть образован описанный в этом синтаксическом числе объект.

[xliv] В арифметике, в которой в качестве меры принят такой дискретный объект, как знак-цифра, не может образован объект, описанный в каком-либо конечном десятичном синтаксическом числе, так как знак-цифра не может быть реально расчленена на субмеры.

[xlv] Отсюда вытекают такие арифметические утверждения как 1,00…0… - 0,00…0…=1. Менее очевидными являются такие утверждения как 1 – 0,00…0…= 0,99…9…; 1 – 0,11…1… = 0,88…8…; и т.п.