Рейтинг
Порталус


Путенихин П.В. Параллельный перенос вектора. Критика

Дата публикации: 06 апреля 2021
Публикатор: Путенихин П.В.
Рубрика: ВОПРОСЫ НАУКИ ВОПРОСЫ НАУКИ →
Номер публикации: №1617721934


Прикреплённый файл - Путенихин П.В. Параллельный перенос вектора. Критика

Загрузить Автор: Путенихин П.В. (загружен: 06 апреля 2021)



"Золотая коллекция" Порталуса / PORTALUS.RU-1617721934
На фото: Путенихин П.В. Параллельный перенос вектора. Критика, автор: putenikhin
На фото: Путенихин П.В. Параллельный перенос вектора. Критика. Добавлено: putenikhin, https://portalus.ru

Ознакомительный фрагмент. Полный текст – во вложении.

  • УДК 51-71; 514.822; 531-4;
  • MSC 53A45; 35Qxx; 83-XX
  • PACS 04.20.-q; 04.20.Cv 

Практически во всех источниках, учебниках, рассматривающих вопрос определения кривизны собственного пространства внутренним наблюдателем, можно встретить утверждение, что он способен сделать это без привлечения понятия пространства большей размерности:

"... внутренняя кривизна пространства-времени, т. е. кри­визна, при определении которой не только не используется по­гружение в какое-либо гипотетическое плоское многообразие более высокой размерности, но даже не допускается мысли о возможности такого погружения" [8, т.1, с.411].

В качестве одного из способов такого определения чаще всего рассматривается явление поворота вектора при его параллельном переносе по замкнутому контуру:

"Кривизна многообразия сама по себе выражается через изменение направления вектора, возникающее при параллельном переносе вектора по небольшому замкнутому контуру. Изменение направления вектора зависит от исходного направления вектора, а также от ориентации двумерной поверхности, в которой расположен этот замкнутый контур; при заданной ориентации изменение направления вектора пропорционально площади, охватываемой замкнутым контуром. Следовательно, численное значение кривизны многообразия можно выразить через изменение направления вектора (в градусах) на единицу площади, охватываемой замкнутым контуром, по которому совершается обход" [1, с.82].

Известны и более формализованные описания таких процессов, например, в терминах тензоров:

"... параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру. Параллельно перенося произвольный тензор … из произвольной точки А в точку D вдоль различных сторон параллелограмма … можно убедиться в том, что тензор Римана-Кристоффеля определяет разность компонент тензоров, перенесенных из одной точки в другую (близкую) двумя разными путями (уравнение) ..." [4, с.67]

Разностью компонент тензора в данном случае и обозначают изменение направления вектора при таком параллельном переносе. Примерно такой же вывод следует из доказательств еще одного автора:

"При произвольном переносе … вектор получает приращение ... Выведем формулу ... Таким образом, при параллельном переносе вектор ... получает  приращение ..." [5, с.51]

Эти выводы относятся к криволинейным пространствам, поскольку в декартовой и в евклидовой системах координат компоненты векторов при параллельном переносе не изменяются и результирующий вектор после прохождения любого замкнутого контура совпадет с исходным вектором, причем система координат в общем случае, как считается, может быть и искривленной. Но в искривленном пространстве:

"... результирующий вектор a*i, вообще говоря, будет отличен от исходного вектора ai, причем разность a*i – a*i зависит от выбора замкнутой кривой ... это единственное существенное различие между плоским и искривленным пространствами" [7, с.231].

Именно такое поведение вектора при параллельном переносе, как правило, и используется в качестве определения понятия кривизны пространства:

"... пространство называется искривленным, если результат параллельного переноса вектора из одной точки в другую зависит от выбора пути, по которому производится перенос" [1, с.84].

При параллельном переносе всегда принимается, что длина вектора остается неизменной, поэтому результатом переноса может быть только поворот вектора, но не его растяжение или сжатие. Поскольку пути могут быть разными, то и результирующий поворот так же может быть разным. В частности, главной характеристикой связности на многообразии есть изменение при переносе касательного вектора:

"В дифференциальной форме его можно описать заданием оператора поворота вектора Г при переходе из точки x в точку x+dx, а именно:

   (3.4)

Коэффициенты Гμαν в формуле (3.4) называются компонентами связанности. Разбивая теперь кривую, соединяющую две точки пространства, на малые отрезки и описывая на каждом отрезке изменение вектора с помощью оператора (3.4), можно получить изменение вектора при переносе из одной точки в другую. При этом существенно, что результат будет различен для различных кривых, связывающих эти точки ...

Таким образом, параллельный перенос в искривленном пространстве зависит от пути, по которому он осуществляется" [6, с.30].

Очевидно, что разных путей параллельного переноса вектора из одной точки в другую может быть сколько угодно. В плоском пространстве существует единственное направление, параллельное заданному в какой-то точке, поэтому результат переноса определяется только исходным вектором и не зависит от пути переноса.

<пропущено>

Выводы

Из приведённых доводов прямо следует: параллельный перенос вектора в рамках пространства не позволяет получить информацию о кривизне пространства, в частности, на поверхности сферы. Несложно обнаружить, что подобное несоответствие возникает и на поверхности тора, и догадаться, что это справедливо в отношении любой искривленной поверхности. Но как же тогда следует относиться к строгим аналитическим выкладкам и доказательствам возможности этого? Ответ содержится в приведенном анализе. Как в аналитических выкладках, так и в графических примерах при параллельном переносе вектор не возвращен в исходное положение, поэтому и сохраняет параметры последнего участка траектории.

Кроме того, возникает весьма серьёзная проблема. Если тензорный формализм приводит к такому результату, изменению направления вектора при его переносе в криволинейном пространства, то неизбежно следует один из двух выводов. Если теория даёт некий вывод, не соответствующий реальному положению вещей, то такая теория не может быть верной. Даже если она тензорная. С другой стороны, если считать её всё-таки верной, безупречной, то такое расхождение с реальными фактами может быть следствием некорректного использования теории.

Литература

  1. Бергман П., Загадки гравитации. Перевод с английского В.А.Угарова. - М.: Изд. "Наука", 1969 г., 216 с.
  2. Бескин В.С., Гравитация и астрофизика. – М.: Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН. Учебно-Научный Комплекс, 2007
  3. Вергелес С.Н., Лекции по теории гравитации. Учебное пособие. - М., МФТИ, 2001.- 428с.
  4. Владимиров Ю.С., Классическая теория гравитации: Учебное пособие. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009, 264 с.
  5. Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.
  6. Иваненко Д.Д, Сарданашвили Г.А., Гравитация / Отв. ред. П.И.Фомин. Изд. 5-е. – М.: Издательство ЛКИ, 2012, 200с.
  7. Мёллер К., Теория относительности. Изд. 2-е. Пер. с англ. Под ред. проф. Д. Иваненко. М., Атомиздат, 1975, 400 с.
  8. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация, т.1-3. – М.: "Мир", 1977
  9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. П. Теория поля. – 8-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 536 с. - (Т. II).
  10. Путенихин П.В. Логические основания многомерных пространств. — Саратов: "АМИРИТ", 2018. – 396 с., цв. илл., ISBN 978-5-907035-29-4, URL: https://www.twirpx.org/file/3089642/ https://www.elibrary.ru/item.asp?id=42690781

Опубликовано на Порталусе 06 апреля 2021 года

Новинки на Порталусе:

Сегодня в трендах top-5


Ваше мнение?


КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА (нажмите для поиска): параллельный перенос; вектор; искривленное пространство parallel transfer; vector; curved space




О Порталусе Рейтинг Каталог Авторам Реклама