ПОТЕНЦИАЛ РЕШЕТА ЭРАТОСФЕНА                                        

Еще в античное время люди стали интересоваться простыми числами, которые, как известно, делятся только на 1 и на само это число, в отличие от составных чисел, которые имеют и другие делители. Математики разрабатывают различные методы для поиска простых чисел. Наиболее интересный из них так называемое «Решето». Его создание приписывают Эратосфену, современнику Архимеда.

Решето Эратосфена позволяет находить простые числа до любого наперед заданного числа натурального ряда. Например, если мы хотим найти все простые числа, меньшие 1000, то необходимо записать все числа до 1000, а потом вычеркнуть все кратные 2, потом из оставшихся чисел – все кратные 3, затем кратные 5 и т. Д.. Очевидно, если продолжить эти операции, то не вычеркнутыми в нашем списке останутся простые числа.

По мнению автора этой статьи, наряду с возможностью нахождения простых чисел до любого наперед заданного числа в натуральном ряду, потенциал решета Эратосфена позволяет доказать, наряду с уже известными доказательствами, бесконечность простых чисел в натуральном ряду.

         Изложим это новое доказательство бесконечности простых чисел в натуральном ряду. Для этого нам необходимо развить идею Эратосфена, распространить этот метод на все числа натурального ряда. Тем самым, на основе метода Эратосфена мы будем рассматривать весь натуральный ряд в целом, а не только натуральный ряд до определенного наперед заданного числа.

        Дадим каждому числу натурального ряда свой порядковый номер. В этом случае мы будем иметь два ряда чисел:

              Натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19… п

           Порядковый номер: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19… п

Очевидно, если мы будем умножать каждый порядковый номер чисел натурального ряда на все числа натурального ряда, исключая порядковый номер 1, то в итоге получим все составные числа в натуральном ряду.  А числа, которые невозможно было представить как произведение порядковых номер чисел, исключая единицу, на числа натурального ряда будут простыми. Тем самым таким способом мы выявим как все составные, так и все простые числа в натуральном ряду.

Поскольку, по общему соглашению, число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам, то умножим все числа натурального ряда на порядковый номер 2. Умножение всех чисел натурального ряда на порядковый номер 2 охватит половину чисел натурального ряда, а отсюда половина чисел натурального ряда становятся составными и четными, а половина чисел натурального ряда нечетными и пока простыми, но, в то же время, число 2 хотя и является четным, но поскольку это первое четное число, то оно простое. Таким образом, на данном этапе умножения порядковых номеров чисел натурального ряда на числа натурального ряда простых чисел в натуральном ряду даже больше чем составных чисел.

         Продолжим умножение чисел натурального ряда на другие порядковые номера чисел натурального ряда. Умножение следующего простого порядкового номера 3 на числа натурального ряда тоже делает составными определенное количество чисел натурального ряда.

         И первым составным числом, которого делает самостоятельно составным умножение данного порядкового номера на числа натурального ряда, является квадрат этого простого порядкового номера, то есть число 9. А отсюда исходит, что до числа 8 натуральный ряд делал составными умножение натурального ряда только на простой порядковый номер 2. Мы пришли к выводу, что этот простой порядковый номер делает составными половину чисел натурального ряда, то отсюда исходит, что до числа 8 количество простых и составных чисел в натуральном ряду должно быть одинаковым. 

А согласуется ли наше рассуждение с действительным положением вещей? Вот простые числа в натуральном ряду до числа восемь:

2, 3, 5, 7.

Вот составные числа в натуральном ряду до числа восемь:

4, 6, 8.

Как видим, хотя простых чисел до числа 8 насчитывается 4, что соответствует нашим расчетам, но составных чисел только 3. Дело в том, что первое число в натуральном ряду, а именно число 1, является числом ни простым, ни составным. 

            Итак, далее мы должны умножать числа натурального ряда на порядковый номер 3. Обратим внимание, что в данном случае два простых числа в натуральном ряду идут подряд, поскольку первое составное число, которое делает составным порядковый номер 2 число 4.

           В дальнейшем такая возможность исключается, так как простое число 2 сделало составными все числа через одну, которые называются четными числами. Но при этом сохраняется возможность, что два простых числа будут идти через 1, то есть в натуральном ряду могут быть простые числа-близнецы.

          Заметим, если бы мы ограничились умножением натурального ряда на порядковый номер 2, то составными были бы все четные числа, исключая 2, простыми все нечетные числа, а отсюда простые числа-близнецы шли бы подряд в натуральном ряду, все сто процентов простых чисел были бы простыми числами-близнецами.

Нам надо вычислить, какое количество чисел натурального ряда делает составными умножение всех чисел натурального ряда на порядковый номер 3. Очевидно, умножение всех чисел натурального ряда на порядковый номер 3 делает составными треть чисел натурального ряда, так как умножение чисел натурального ряда на порядковый номер 3 имеет «шаг» или «прыжок» на 3 числа в натуральном ряду.

Но в то же время не все эти числа натурального ряда сделало составными умножение чисел натурального ряда на порядковый номер 3, половина этой трети чисел натурального ряда уже были составными в силу умножения чисел натурального ряда на порядковый номер 2.

Мы приходим к выводу, что умножение чисел натурального ряда на порядковый номер 3 делает самостоятельно составными:

                                               1/3 Х  1/2 = 1/6

                      И следующее действие:

                                                  1/3   -  1/6 = 1/6

                     Как видим, 1/6 часть оставшихся чисел натурального ряда чисел самостоятельно делает составными умножение чисел натурального ряда на порядковый номер 3.

                       Вычислим общее количество чисел натурального ряда, которые делают составными умножение чисел натурального ряда на порядковые номера 2 и 3:

                                                 1/2 + 1/6 = 2/3

           Итак, умножение чисел натурального ряда на первые два порядковых номера делают составными 2/3 чисел натурального ряда. Если бы натуральный ряд делали составными только эти два порядковых номера, то 2/3 часть чисел натурального ряда были бы составными, а 1/3 часть чисел натурального ряда были бы простыми.

Теперь мы должны умножать натуральный ряд на порядковый номер 4. Но произведения порядкового номера 4 на натуральный ряд уже сделали составными умножение натурального ряда на порядковый номер 2. Аналогично дело обстоит с произведениями чисел натурального ряда на порядковые номера делящихся на ранее рассмотренные нами порядковые номера, например, на порядковый номер 3, а отсюда мы должны далее умножать числа натурального ряда только на простые порядковые номера, так как только они делают самостоятельно составными последующие числа натурального ряда.

Тем самым, следующий порядковый номер, который нам следует рассмотреть должен быть простой порядковый номер. А следующим простым порядковым номером в натуральном ряду после простого порядкового номера 3 является простой порядковый номер 5.

Первым составным числом, которое делает самостоятельно составным следующий простой порядковый номер 5, является квадрат этого простого порядкового номера, то есть число 25, а тем самым до числа 24 натуральный ряд делали составными только простые порядковые номера 2 и 3. Мы вычислили, что эти два простых порядковых номера делают составными 2/3 чисел натурального ряда, а 1/3 часть чисел натурального ряда остаются простыми. А тем самым до числа 24 составными должны быть 2/3 чисел, а простыми 1/3 чисел.

  Вот эти числа. Простые:

  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

  И составные:

  4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21,  22,  24.

          Фактически мы видим, что простыми числами до числа 24 являются 9 чисел, а составными же являются 14 чисел. И действительное количество простых и составных чисел согласуется с нашими вычислениями. В самом деле, простой порядковый номер 3 делает самостоятельно составными числа натурального ряда начиная с квадрата этого числа, а при этом в натуральном ряду одно число, а именно число 2 уже было простым. В силу этого количество простых чисел до числа 24 возрастает на 1, и простых чисел оказывается не 8, а 9. В то же время число 1 является ни простым, ни составным числом, в силу чего составных чисел до числа 24 оказывается только 14.

Обратим внимание, что простой порядковый номер 3 делает составным каждое шестое нечетное число, вследствие чего простые числа-близнецы в натуральном ряду в каждом шестом случае «разбиваются», то есть не идут подряд во всем натуральном ряду. Благодаря простому порядковому номеру 3 становятся составными числа 9, 15 и 21.

В то же время, вследствие того, что в каждом шестом же случае, соответствующее число делится и на 2 и на 3, то числа-близнецы имеют место в натуральном ряду. Эти числа, которые одновременно делятся и на 2 и на 3, числа 6, 12, 18, 24…

Мы можем заключить, что промежуточное число всех чисел-близнецов в натуральном ряду должны обязательно делиться и на 2 и на 3, так как число 2 делает составным каждое четное число в натуральном ряду, а произведения чисел натурального ряда на число 3 в каждом шестом случае имеют общими делителями и число 2, и число 3. В то же время рядом не со всеми числами, делящимися и на 2 и на 3, располагаются простые числа-близнецы, так как соответствующие числа могут делиться на большие простые порядковые номера.

Но как часто встречались бы числа-близнецы в натуральном ряду в том случае, если натуральный ряд делали бы составными только порядковые номера 2 и 3? Если бы натуральный ряд делали составными только умножение простых порядковых номеров 2 и 3 на числа натурального ряда, то 1/3 часть чисел натурального ряда были бы простыми. Из них половина были бы простыми числами-близнецами, то есть 1/6 часть чисел натурального ряда состояло бы из простых чисел-близнецов. При дальнейшем умножении чисел натурального ряда на простые порядковые номера, очевидно, все новые потенциально простые числа-близнецы будут «разбиваться», некоторые числа станут составными, то есть мы можем сделать следующий вывод:

Количество простых чисел-близнецов по мере умножения чисел натурального ряда но простые порядковые номера в натуральном ряду  будет все меньше и меньше.

Вот что пишет Тобиас Данцинг в своей книге «Числа язык науки»: «С другой стороны, было показано, что так называемые парные простые числа, такие как (3,5), (5, 7), (11, 13), (17,19), (29,31), (41, 43) и т. Д. становятся все реже и реже с ростом абсолютных значений. Эту замечательную теорему доказал голландский математик Брунс в 1919 году». (1)

Мы же пришли к выводу Брунса на основе простых умозаключений. Каждый новый простой порядковый номер при его умножении на числа натурального ряда делает составными все новые числа в натуральном ряду, в том числе те числа, которые бы образовали простые числа-близнецы, если бы натуральный ряд мы не умножали на данный простой порядковый номер.  А тем самым простых чисел-близнецов в натуральном ряду по мере умножения чисел натурального ряда на новые простые порядковые номера становится все меньше.

Следующий порядковый номер, который мы должны рассматривать, как мы уже сказали, простой порядковый номер 5.  Умножение чисел натурального ряда на порядковый номер 5 имеет «шаг» или «прыжок» 5, то есть порядковый номер 5 делает составными каждое пятое число натурального ряда, но в то же время не все эти числа составными сделал умножение чисел натурального ряда на простой порядковый номер 5. Действительно, определенную их часть уже сделали составными умножение чисел натурального ряда на простые порядковые номера 2 и 3.

Половину из этих чисел уже сделало составными порядковый номер 2. Отсюда:

                           1/5 х 1/2 = 1/10.

Далее:  1/5 – 1/10 = 1/10  

                        Итак, 1/10 часть этих чисел уже сделало составными умножение натурального ряда чисел на порядковый номер 2.

          Отсюда, на долю порядкового номера 5 остается только 1/10 часть чисел натурального ряда. Но и 1/10 часть чисел натурального ряда порядковый номер 5 делает составными не самостоятельно. 1/6 часть чисел из этой величины делает составными порядковый номер 3.

         Отсюда:

                     1/5 х1/ 6 = 1/30

                     Далее:

 1/10 – 1/30 = 1/15

                     Как видим, порядковый номер  5 делает самостоятельно составными только 1/15 часть чисел натурального ряда.

           Вычислим количество составных чисел, которые  делают составными умножение чисел натурального ряда на рассмотренные 3 простых порядковых номера.

            2/3 + 1/15 = 10/15 +1/ 15 = 11/15 ≈ 0,733

            Итак, составными стали приблизительно 0, 733 часть чисел натурального ряда, а остальная часть натурального ряда являются пока простыми числами.

             Обратим внимание, что простой порядковый номер 5 делает самостоятельно составным только квадрат этого числа.  То же самое мы можем сказать о любом простом порядковом номере, то есть каждый простой порядковый номер, который мы будем рассматривать,  сделает самостоятельно  составным только квадрат этого числа. Отсюда для проверки простоты определенного числа достаточно это число делить до того простого числа квадрат которого лежит в пределах величины проверяемого на простоту числа. Первым математиком, указавшим на это, был Фибоначчи (Леонардо Пизанский).

Как мы уже сказали, рассмотренные простые порядковые номера сделали составными 11/15 часть чисел натурального ряда. А так как следующий простой порядковый номер 7 делает самостоятельно составным число 49, то до числа 48 количество составных чисел должно быть 11/15 часть, а число простых чисел 4/15 часть. Так ли это?

Произведем вычисления:

48 : 15= 3, 2

11 Х 3, 2 ≈ 35 – количество составных чисел.

4 Х 3,2 ≈ 13 – количество простых чисел.

Вот простые числа до числа 48:

           2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

          Как видим, количество простых чисел в действительности 15. И причина этого заключается в том, что простой порядковый номер 5 делает самостоятельно простым квадрат этого же числа, а при этом в натуральном ряду уже содержались 2 простых числа, эти числа 2 и 3.

Как мы видим, каждое следующее простое число самостоятельно делает составным только квадрат этого числа, а до квадрата этого числа предыдущие числа делали составными меньшие простые порядковые номера, причем только определенную часть, то есть до квадрата этого простого числа есть и другие простые числа. Это рассуждение справедливо для каждого простого порядкового номера. А тем самым самого большого простого порядкового номера не существует, то есть простых чисел в натуральном ряду бесчисленно. Таким образом, мы дали новое доказательство бесконечности простых чисел в натуральном ряду.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Каждый новый простой порядковый номер имеет все больший «шаг» или «прыжок», а отсюда при умножении этого простого порядкового номера на числа натурального ряда составными становятся все меньшее количество чисел. При этом первое число, которой делает самостоятельно составным данный простой порядковый номер, это квадрат данного простого порядкового номера.  А это означает, что плотность простых чисел даже в областях очень больших чисел не уменьшится сколько-нибудь значительно, простые числа в областях очень больших чисел будут встречаться довольно плотно. Действительно, большие простые числа могут сделать составными тысячную, далее стотысячную часть чисел натурального ряда, а еще большие простые числа сделают составными числа натурального ряда с еще большим «шагом», «прыжком».

Это обстоятельство было известно. Вот что пишет Тобиас Данцинг в своей книге «Числа язык науки»: «Следующий вопрос касается распределения простых чисел. Мы можем говорить, например, о плотности простых чисел, т.е. о количестве простых чисел, например, в любой тысяче чисел. Это, конечно, то же самое, что пересчитать все простые числа, меньшие заданного числа. Решая эту задачу, многие современные математики продемонстрировали чудеса изобретательности, но вполне удовлетворительное решение все еще не получено. Однако мы знаем уже достаточно много, чтобы заключить, что простые числа не располагаются намного реже по мере увеличения абсолютных значений». (2)

Мы же пришли к тому же результату другим, намного более простым путем.

ЗУБАИРОВ ЮНУС ФАРИТОВИЧ

452721 Республика Башкортостан, Буздякский р/н, п/о Каран,  дер. Ново-Актово.

Цитированная литература:

1. Тобиас Данцинг «Числа - язык науки».    Техносфера. Москва. 2008 год.  с. 52.
2. Тобиас Данцинг. «Числа - язык науки».    Техносфера. Москва. 2008 год.  с. 54
3. Дербишер. «Простые числа». 2010, с. 178-179.