Задача по квантовым вычислениям с решением

Путенихин П.В.

m55@mail.ru

Аннотация

Рассмотрена в учебных целях задача по измерению поляризованных фотонных потоков с различной поляризацией с помощью одного и того же поляризатора. Вычисления вероятности прохождения этих фотонов произведены с использованием проективной математики квантовых вычислений.  

В большинстве учебников по квантовой информатике приводятся математические выражения для анализа квантовых схем. Для лучшего понимания механизмов квантовых вычислений рассмотрим в порядке практикума одну из частных задач по измерению состояния поляризованного потока фотонов. В общем случае поляризованный поток фотонов может быть описан волновой функцией следующего вида:

Каждый из фотонов рассматривается как кубит, описываемый этой волновой функцией. Коэффициенты α и β у всех кубитов одинаковые и в процессе решения задачи будут принимать некоторые определённые значения. Для изучения механизма измерения фотонов воспользуемся измерителем – поляризатором, наклоненным к горизонтали под углом 30^о. Этот поляризатор может быть также описан волновой функцией, в нашем случае имеющей вид:

(1)

Проектор такого измерителя, согласно математике квантовых вычислений, имеет вид:

Графически исследуемый кубит (синяя стрелка) и поляризатор 30^о (красная стрелка) можно изобразить таким образом:

Исследуемый кубит на рисунке показан условно, для некоторых неопределённых заранее проекций α и β. На самом деле вектор кубита может иметь любой угол по отношению к поляризатору. Напротив, используемый поляризатор имеет фиксированный угол наклона 30^о к горизонтали. Действие, которое поляризатор окажет на исследуемые произвольные кубиты, согласно математике квантовых вычислений описывается проектором:

После преобразования полученного выражения можно увидеть, что после прохождения через поляризатор (проектор) исследуемый кубит |ψ> перейдёт в состояние поляризатора |χ>:

Итак, любой измеренный поляризатором фотон перешёл в состояние проектора. Но с какой вероятностью это произошло? Вероятность прохождения кубита через поляризатор найдём по формуле, предлагаемой математикой квантовых вычислений:

Исследуем теперь с помощью этого уравнения различные кубиты. Любой из этих кубитов после прохождения через поляризатор будет находиться в состоянии (1). Например, в простейшем случае, когда кубит коллинеарен поляризатору:

Вероятность прохождения через выбранный поляризатор такого коллинеарного кубита:

Действительно, если кубит и поляризатор параллельны (собственный проектор), то кубит будет переведён в его состояние достоверно, то есть через этот поляризатор пройдут все фотоны потока.

Рассмотрим кубит, ортогональный нашему поляризатору:

Вероятность прохождения через проектор такого ортогонального кубита:

Так и должно быть: если поляризатор (проектор) имеет перпендикулярное направление к фотонам, то ни один фотон не пройдёт через него.

Если угол между кубитом и поляризатором равен 30^о:

то вероятность прохождения кубита через этот поляризатор будет:

Прикидочно, «на глазок» это легко принять: кубит и проектор (поляризатор) почти параллельны, близки друг к другу, поэтому фотонов пройдёт достаточно много.

Рассмотрим теперь кубит, имеющий поляризацию под углом 15^о к нашему проектору:

 Вероятность прохождения через проектор такого наклонного кубита:

Здесь угол между поляризатором и кубитом ещё меньше, чем в предыдущем примере, поэтому пройдёт ещё больше фотонов, что также выглядит правдоподобно.

Рассмотрим следующий кубит в состоянии |ψ>=|1>, то есть кубит, имеющий вертикальную поляризацию:

Этот кубит образует с поляризатором угол 60 ^о и пройдёт через него с вероятностью:

Угол между кубитом и поляризатором достаточно большой, поэтому вероятность прохождения кубитов через поляризатор невелика.

Рассмотрим другой кубит с базисной поляризацией - в состоянии |ψ>=|0>, то есть, имеющий вертикальную поляризацию:

Вероятность его прохождения через поляризатор:

Здесь уже можно заметить совпадение. Такую же вероятность прохождения имеет и фотон, имеющий угол наклона 30^о к вертикальной оси. И это совпадение не удивительно, ведь оба этих фотона образуют с поляризатором один и тот же угол - 30^о.

Ещё одно совпадение мы обнаружим при рассмотрении фотона, который образует с горизонтальной осью угол минус 30^о:

Этот фотон пройдёт через поляризатор с такой же вероятностью, что и вертикально поляризованный фотон:

В этом совпадении тоже нет ничего не удивительно, ведь оба этих фотона образуют с поляризатором один и тот же угол - 60^о.

В заключение необходимо заметить, что полученные вероятности относятся к фотонам, прошедшим через поляризатор. А что произошло с фотонами, которые не прошли через него? Это легко выяснить экспериментально, если использовать расщепляющий поляризатор. В этом случае остальные фотоны все без исключения пройдут на его ортогональный выход. То есть, все фотоны, не прошедшие через наш поляризатор, имеют поляризацию, ортогональную к поляризации прошедшего фотона. Соответственно, вероятности их ортогонального прохождения равны разнице между полной вероятностью – единицей и вероятностью прохождения фотонов через наш поляризатор:

01.11.2013

Адрес полного текста статьи в интернете URL:

http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/z01.shtml

Иллюстрации и уравнения к статье (зеркала)

http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/

https://cloud.mail.ru/public/8WpP/qeaUMAiGz

https://yadi.sk/d/EZg36rrKmJDwk

http://vixra.org/author/putenikhin_p_v