Квантовая телепортация: подробный анализ

Путенихин П.В.

m55@mail.ru

Аннотация

Подробно рассмотрены базовые математические выкладки, положенные в основу квантовой телепортации. Использованы различные «телепортационные несущие» - пары кубитов, осуществляющих перенос квантового состояния, в том числе четыре запутанных состояния Белла.

Имеющиеся в литературе математические описания квантовой телепортации приводятся в несколько упрощённом виде, без подробных промежуточных выкладок. Это хорошо для подготовленного читателя. При первом знакомстве с квантовой телепортацией возникает ложное впечатление о её сходстве с давно известной из художественной литературы научно-фантастической телепортацией, то есть, с перемещением тел, минуя промежуточные положения. Нет, реальная квантовая телепортация не имеет практически ничего общего с научно-фантастической.

Попробуем проанализировать математику квантовой телепортации более подробно, чем это есть в литературе. Рассмотрим один из вариантов схемы установки для осуществления этой телепортации. Напомню, что в отличие от традиционной телепортации, в квантовой телепортируется не физический объект, а некие сведения о его состоянии. Мгновенно и на большое расстояние передаётся так называемая «квантовая информация», то есть, состояние квантовой частицы – кубита, состояние которого не известно, например, а|0>+b|1>. В качестве кубита используется фотон.

Элементы: гейт CNOT, гейт Адамара H и измерители М₁, М₂ находятся на стороне Алисы, а гейты X и Z - на стороне Боба. В качестве «носителя» традиционно используются запутанные частицы в одном из состояний Белла:

Одна из частиц запутанной пары остаётся у Алисы, а другая отправляется Бобу. Однако, запутанных состояний известно четыре и все они могут быть использованы в протоколе телепортации. Это следующие состояния Белла:

Рассмотрим выкладки, использующие все эти состояния. Для этого обозначим кубит, состояние которого телепортируется, нижним индексом C, а кубиты, принадлежащие Алисе и Бобу, соответственно, индексами A и B. Тогда состояния кубитов, участвующих в телепортации, будут записаны таким образом:

Таким образом, для каждого из четырёх протоколов телепортации, в зависимости от используемого состояния Белла - телепортационной «несущей», состояние на входе устройства телепортации будет, соответственно, иметь вид:

и

Это четыре уравнения телепортации: каждое из двух выражений описывает два состояния.

Опишем подробнее эти уравнения. Вектор состояния Ψ₀ – это исходное состояние частиц на входе установки до момента их взаимодействия. Частица Алисы и телепортируемая частица С подаются на вход гейта CNOT. Но частица Алисы находится в запутанном состоянии с частицей Боба, поэтому состояние системы на входе может быть математически описано только как состояние трёх частиц А, В, С. Это описание представляет собой тензорное произведение (знак умножения в кружочке). Первый тензорный сомножитель – это квантовое состояние телепортируемой частицы, второй – состояние запутанных частиц. Это состояние представляет два равновероятных исхода измерения запутанных частиц: когда обе частицы А и В будут обнаружены в состоянии |0> (первое слагаемое) и когда они будут обнаружены в состоянии |1> (второе слагаемое). Никаких иных исходов быть не может, поэтому присутствуют только эти два слагаемых: |00> и |11>.

Далее произведено тензорное умножение с раскрытием скобок первого сомножителя наподобие обычного умножения двучленов. На схеме установки это состояние отмечено вертикальной чертой с обозначением Ψ₀.

Кубиты Алисы пропускаются через гейт CNOT, что приводит к изменению состояний запутанной частицы Алисы на управляемом входе гейта. Совместное состояние всех трёх частиц принимает, соответственно, вид:

Действие гейта CNOT заключается в инвертировании входного кубита Алисы, если кубит, частица С, являющаяся в схеме управляющей, находится в состоянии |1>, иначе никаких изменений. Поэтому новое состояние, отмеченное на схеме вертикальной чертой с обозначением Ψ₁, содержит во втором члене, соответствующему единичному состоянию кубита С, в скобках инверсные кубиты Алисы: |10> и |01>.

Далее телепортируемый кубит С Алисы пропускается через гейт Адамара H, в котором он преобразуется по правилу:

Отсюда получаем третье состояние (напомню: для всех четырех состояний Белла):

Действие гейта Адамара заключается в пространственном повороте кубита на 45 градусов. Математически это проявляется в том, что единичное состояние кубита Алисы |1> заменяется на разницу |0>-|1>, а нулевое |0> – на сумму |0>+|1>, как показано в уравнении Ψ₂. Появившиеся дополнительные коэффициенты выносим за общие скобки.

Раскроем скобки и перегруппируем кубиты в этом уравнении по их принадлежности Алисе или Бобу (кубиты С и А оба принадлежат Алисе, поэтому индекс им оставляем общий - А):

Здесь выполнены простые математические преобразования. Сначала раскрываем все круглые ( ) и дираковские скобки |>, вынося каждый кубит в свои собственные дираковские скобки. Затем группируем однотипные слагаемые в общие дираковские скобки принадлежащие Алисе кубиты, оставляя у них общий индекс - А.

Группируем однотипные слагаемые Алисы и в результате получаем (очевидные индексы опускаем и разделяем уравнения на четыре, каждое из которых является телепортационной «несущей» - состоянием Белла):

Первое из этих уравнение – окончательный вид традиционного уравнения телепортации, которое описывает состояние системы после гейта Адамара, обозначенное на схеме установки вертикальной чертой с индексом Ψ₂. Это заключительный этап подготовки телепортации кубита С.

Как видим, каждое из четырех полученных чисто математическими преобразованиями состояний имеет четыре равновероятных исхода. После измерения на M₁ и M₂ пары кубитов Алисы, на стороне Боба будет получено одно из этих состояний. Если передать Бобу результаты измерения Алисы, то он сможет произвести над своим кубитом соответствующие унитарные преобразования, в результате которых получит состояние своего кубита, копирующее состояние телепортируемого кубита Алисы:

Эта таблица описывает собственно процесс телепортации с традиционно используемым EPR-состоянием.

Эта таблица описывает собственно процесс телепортации с рассмотренным традиционно используемым EPR-состоянием. В таблице Ψ₃ – это и есть результирующее состояние, новое состояние EPR-частицы, изначально переданной Бобу. Состояние это коррелировано с состояинем исходной, телепортируемой частицы С, но не тождественно ему. Для того, чтобы получить из своей частицы в состоянии Ψ₃ частицу в состоянии Ψ_с телепортируемой частицы С, Боб должен произвести некоторые унитарные преобразования. Какое именно из четырех преобразований – I, X, Z или XZ должен произвести Боб, зависит от результатов измерений Алисы.

Для этого по обычным каналам связи Алиса передаёт Бобу результаты M1M2, в соответствии с которыми Боб и выбирает необходимое унитарное преобразование. В результате этого преобразование состояние его частицы Ψ₃ преобразуется в результирующее состояние Ψ₄. Как видно в таблице – это и есть состояние Ψ_с телепортируемой частицы С. Телепортация произведена.

Отметим важное обстоятельство. Хотя состояние частицы С было передано от Алисы к Бобу мгновенно и на большое расстояние, не существует никаких способов определить состояние Ψ₃ частицы на соответствие состоянию частицы С. Поэтому передать информацию таким способом невозможно. Любые измерения частицы Боба в состоянии Ψ₃ будут давать такие же результаты, как и измерение частицы, не находящейся в собственном состоянии. То есть, при любом направлении измерительного поляризатора Боба результат всегда будет одинаков, частица будет проходить или поглощаться поляризатором с вероятностью 0,5 на 0,5.

Это заметно по данным в колонке Ψ₃. Верхняя пара частиц и нижняя пара в сумме образуют две ортогональные «вилки» векторов. Поэтому на любом направлении измерительного поляризатора они будут в сумме давать 50% прохождений от общего числа частиц, выделенного направления быть не может.

Помимо описанного традиционного EPR-состояния для телепортации могут быть использованы и три другие запутанные состояний Белла, для которых могут быть составлены такие же три таблицы соответствующих результатов телепортации:

При этом, как видим, ни один из равновероятных результатов не повторяется в других «несущих». То есть, каждому из результатов на стороне Алисы - 00, 01, 10 и 11 для каждой из «несущих» соответствует свой отличный результат на стороне Боба, и наоборот. Например, результат на стороне Боба, не требующий никаких преобразований - I, соответствует результату измерений на стороне Алисы - 00, 01, 10 и 11 - в зависимости от «несущей».

Таким образом, мы смогли телепортировать неизвестное состояние частицы Алисы, используя каждое из четырех запутанных состояний Белла. Однако, возникает вопрос: а можно ли осуществить телепортацию как-то иначе, не используя запутанные состояния Белла? Попробуем это сделать, используя обычную пару не запутанных фотонов. Подадим на вход установки телепортации три фотона:

Как и раньше, кубиты А и С принадлежат Алисе, а кубит В передан Бобу. Исходное состояние кубитов и оно же после подстановок и преобразований:

Пропустим кубиты Алисы через гейт CNOT, в результате чего состояние кубита А изменится (инвертируется во 2, 4, 6 и 8 слагаемых уравнения, как отмечено индексом inv):

Далее Алиса пропускает телепортируемый кубит через гейт Адамара, преобразуя его по правилу:

После подстановки в предыдущее состояние получаем третье состояние:

Раскроем внутренние скобки:

Перегруппируем члены в этом уравнении по принадлежности Алисе и Бобу. Кубиты Алисы «собираем» в пары, в которых левый - кубит С, правый - кубит А. Очевидные индексы опускаем (парные кубиты принадлежат Алисе, одинарные - Бобу):

Перегруппируем следующим образом:

Рассмотрим возможные наглядные варианты такой «телепортации».

Выберем состояния «несущей» a=b=c=1, в результате чего получаем:

При любом результате единичного измерения Алисы, как можно увидеть, на стороне Боба будет получено состояние (|0>+|1>), не содержащее коэффициентов α и β.

Теперь выберем состояние «несущей» a=c=0 (состояние, напоминающее запутанность). В этом случае получаем:

И в этом случае при любом результате единичного измерения Алисы 00...11 будет получено состояние |1> на стороне Боба, не содержащее коэффициентов α и β. Собственно говоря, в этом нет ничего удивительного, ведь переданный Бобу фотон не подвергается никаким преобразованиям и никак не связан с телепортируемым Алисой фотоном. Однако, можно заметить любопытную особенность такой «телепортации». Если буквально следовать её протоколу, то есть поворачивать фотон Боба согласно полученным от Алисы классическим битам, то можно при наличии достаточно большой статистики измерений Алисы создать на стороне Боба фотон, сколь угодно близко совпадающий с «телепортируемым» массивом одинаковых фотонов Алисы. Действительно, вероятность выпадения результатов измерения Алисы 00 пропорциональна одному из коэффициентов, а 01 - другому. Другими словами, по массиву косвенных измерений одинаковых состояний, его можно восстановить.

Помимо запутанных состояний Белла существуют состояния, которые также можно рассматривать как запутанные. Например, состояние:

не может быть представлено как тензорное произведение двух волновых функций, что является признаком запутанного состояния. Видимо, это состояние также может быть использовано для телепортации. Проверим это. Для этого обозначим кубит, состояние которого телепортируется, нижним индексом C, а кубиты, принадлежащие Алисе и Бобу, соответственно, индексами A и B. Тогда состояния кубитов, участвующих в телепортации, будут записаны таким образом:

Состояние на входе устройства телепортации в этом случае будет иметь вид:

Кубиты Алисы пропускаются через гейт CNOT, что приводит к изменению состояний запутанной частицы Алисы на управляемом входе гейта. Совместное состояние всех трёх частиц принимает вид:

Далее телепортируемый кубит С Алисы пропускается через гейт Адамара H, в котором он преобразуется по правилу:

Отсюда получаем третье состояние:

Раскроем скобки и перегруппируем кубиты в этом уравнении по их принадлежности Алисе или Бобу (кубиты С и А оба принадлежат Алисе, поэтому индекс им оставляем общий - А):

Группируем однотипные слагаемые Алисы и в результате получаем (очевидные индексы опускаем):

Проверим правильность выкладок. Подставим a=b=1:

Результат совпадает с полученными выше уравнениями, что можно рассматривать как свидетельство корректности преобразований. Итак, мы видим, что полученное чисто математическими преобразованиями состояние как и выше имеет четыре равновероятных исхода. После измерения на M₁ и M₂ пары кубитов Алисы, на стороне Боба будет получено одно из этих состояний. Если передать Бобу результаты измерения Алисы, то он сможет произвести над своим кубитом соответствующие унитарные преобразования, в результате которых получит состояние своего кубита, копирующее состояние телепортируемого кубита Алисы, хотя в несколько «деформированном» виде:

Наличие коэффициентов a и b означает, по всей видимости, что исходный телепортируемый кубит повернут на некоторый угол. Очевидно, этот угол известен до начала телепортации и в конце неё может быть унитарным преобразованием применён к результату.

Может возникнуть вопрос, а что это за состояние, которое мы только-что использовали для телепортации? Внимательно присмотревшись к нему, можно заметить, что известные четыре запутанные состояния Белла являются частными (специальными) случаями запутанности, а рассмотренное состояние запутанности является общим, полным состоянием запутанности, включающими в себя состояния Белла как частный случай. Действительно, состояние запутанности может быть получено с помощью гейта CNOT. Пропустим через него два кубита (управляющий и управляемый, соответственно):

На входе гейта состояние имеет вид:

Запишем его в виде матрицы:

В матричном представлении гейт CNOT имеет вид:

После прохождения взятых кубитов через гейт СNOT, мы получим:

Это запутанное состояние Белла. Проделаем эти же вычисления с другой парой кубитов:

На входе гейта состояние имеет вид:

Запишем его в виде матрицы:

После прохождения взятых кубитов через гейт СNOT, мы получим:

Это явно запутанное состояние, но в более общем виде, чем состояние Белла. Действительно, его невозможно представить в виде тензорного произведения двух кубитов, а это является признаком запутанного состояния:

Если же приравнять α=β=1 и нормировать, то есть применить унитарное преобразование – поворот кубитов в пространстве, то мы получим частное значение уравнения – состояние Белла (ЭПР):

Общее, полное состояние запутанности ψ^α+ (это одно из четырёх общих, полных состояний запутанности) обладает интересными свойствами. Как и состояний Белла, таких общих состояний четыре:

10.10.2013

Адрес полного текста статьи в интернете URL:

http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/teleport.shtml

Иллюстрации и уравнения к статье (зеркала)

http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/

https://cloud.mail.ru/public/8WpP/qeaUMAiGz

https://cloud.mail.ru/public/Hq7e/jZ9YZGJW9

https://yadi.sk/d/EZg36rrKmJDwk

https://drive.google.com/folderview?id=0B0uM56-EnG4ZaUFJb0YzY3YtcVU&usp=drive_web

http://fileload.info/users/putenikhin/