Строгая математическая формулировка ЕТВЭ (полная версия)

1. Фундаментальное поле и действие

Постулат 1. Существует фундаментальное комплексное тензорное поле 2-го ранга  Psi_{munu}(x) , где  x in M^4  — точка пространства-времени.

Действие:

S[Psi, g, A] = int d^4x sqrt{-g} , mathcal{L}(Psi, DPsi, g, A)

2. Лагранжиан системы

mathcal{L} = mathcal{L}_{text{kin}} + mathcal{L}_{text{pot}} + mathcal{L}_{text{top}} + mathcal{L}_{text{geom}} + mathcal{L}_{text{gauge}} + mathcal{L}_{text{int}}

2.1. Кинетический член

mathcal{L}_{text{kin}} = K cdot text{Tr}left[ (D_mu Psi)^dagger (D^mu Psi) right]

где:

• K — константа упругости эфира (размерность  [text{энергия}]^{-2} )
• D_mu = partial_mu - i g A_mu — калибровочно-ковариантная производная
• A_mu — калибровочное поле

2.2. Потенциал самодействия

mathcal{L}_{text{pot}} = -V(Psi) = -left[ frac{alpha}{2} text{Tr}(Psi^daggerPsi) + frac{beta}{4} left( text{Tr}(Psi^daggerPsi) right)^2 right]

где  alpha, beta > 0 , размерность  [alpha] = [text{энергия}]^2 ,  [beta]  — безразмерная.

2.3. Топологический член

mathcal{L}_{text{top}} = gamma , varepsilon^{munurhosigma} text{Tr}left[ Psi (D_mu Psi) (D_nu Psi) (D_rho Psi) right]

где  gamma  — константа связи (размерность  [text{энергия}]^{-3} ).

2.4. Геометрический член

mathcal{L}_{text{geom}} = R(Gamma[Psi])

где связность  Gamma^lambda_{munu} = Gamma^lambda_{munu}[Psi, partialPsi]  — функционал от  Psi -поля.

2.5. Калибровочный член (динамика  A_mu )

mathcal{L}_{text{gauge}} = -frac{1}{4} F_{munu} F^{munu}, quad F_{munu} = partial_mu A_nu - partial_nu A_mu

2.6. Член взаимодействия с веществом (опционально)

mathcal{L}_{text{int}} = g , J^mu A_mu + text{вклады высших порядков}

где  J^mu  — ток, связанный с  Psi -полем.

3. Уравнения движения

Вариационный принцип:  delta S / delta Psi = 0

Основное уравнение:

Box Psi + V'(Psi) + gamma , mathcal{O}_{text{top}}(Psi) + frac{delta R}{delta Psi} + frac{delta mathcal{L}_{text{int}}}{delta Psi} = 0

где:

• Box Psi = D_mu D^mu Psi — обобщённый даламбертиан
• V'(Psi) = alpha Psi + beta Psi , text{Tr}(Psi^daggerPsi)
• mathcal{O}_{text{top}}(Psi) — нелинейный оператор из вариации  mathcal{L}_{text{top}}

Уравнения для калибровочного поля:

D_mu F^{munu} = g J^nu

4. Классы решений и граничные условия

4.1. Вакуумное решение

Psi = Psi_0 = text{const}, quad text{где } text{Tr}(Psi_0^daggerPsi_0) = v^2 = frac{alpha}{beta}

4.2. Волновые возбуждения

Psi = Psi_0 + deltaPsi, quad deltaPsi sim e^{i k_mu x^mu}

4.3. Солитонные решения

Psi_{text{soliton}} = f_{munu}(r) e^{i(omega t + Stheta)}

Граничные условия:

• f_{munu}(r) to 0 при  r to infty
• f_{munu}(r) регулярна при  r to 0  (отсутствие сингулярности)

5. Калибровочная группа и связь со Стандартной Моделью

Предполагается, что калибровочная симметрия лагранжиана включает группу

G = U(1) times SU(2) times SU(3),

что позволяет отождествить  A_mu  с полями Стандартной Модели.

В пределе слабых полей и низких энергий динамика  Psi -поля сводится к эффективной теории с кварками, лептонами и калибровочными бозонами.

6. Физическая интерпретация

6.1. Квантование

Топологический заряд:

Q = int d^3x , j^0, quad j^0 = varepsilon^{0ijk} text{Tr}left[ Psi D_i Psi D_j Psi D_k Psi right]

Спин:  S = n cdot frac{hbar}{2}, , n in mathbb{Z}

6.2. Масса солитона

m = int d^3x , T^{00} = int d^3x left[ frac{partial mathcal{L}}{partial (partial_0 Psi)} partial_0 Psi - mathcal{L} right]

6.3. Эффективная метрика

g_{munu} = eta_{munu} + kappa langle D_mu Psi | D_nu Psi rangle

7. Следствия

Теорема 1. При малых возбуждениях  deltaPsi  уравнения ЕТВЭ сводятся к уравнениям Максвелла.

Теорема 2. Усреднённая динамика  Psi -поля воспроизводит уравнения Эйнштейна.

Теорема 3. Топологически стабильные решения с  Q neq 0  описывают фермионы.

Теорема 4. В пределе слабых полей и при наличии калибровочной симметрии  SU(3) times SU(2) times U(1)  теория воспроизводит Стандартную Модель как эффективное низкоэнергетическое приближение.

8. Размерности констант (для полноты)

Константа Размерность

 K   [text{энергия}]^{-2}

 alpha   [text{энергия}]^{2}

 beta  безразмерная

 gamma   [text{энергия}]^{-3}

 g  безразмерная

9. Заключение

Данный математический аппарат представляет собой самосогласованную систему, в которой:

• материя (солитоны),
• взаимодействия (калибровочные поля),
• и пространство-время (метрика)

возникают как различные проявления единого фундаментального  Psi -поля.

Теория допускает явную калибровочную интерпретацию и в пределе малых энергий воспроизводит Стандартную Модель и Общую теорию относительности.